Demostrar que $ \left(1+\frac a b \right) \left(1+\frac b c \right)\left(1+\frac c a \right) \geq 2\left(1+ \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right)$.

Question

Dado $a,b,c>0$, demuestran que, a $\displaystyle \left(1+\frac a b \right) \left(1+\frac b c \right)\left(1+\frac c a \right) \geq 2\left(1+ \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right)$.

He ampliado la PREPA, y me di cuenta que para acreditar $\displaystyle\frac a b +\frac a c +\frac b c +\frac b a +\frac c a +\frac c b \geq \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$, pero no sé cómo. Por favor, ayudar. Gracias.

Answer 1

Sé que es muy tarde para contestar, pero me encontré con un muy buen método para probar esto. $$\displaystyle \left(1+\frac a b \right) \left(1+\frac b c \right)\left(1+\frac c a \right) \geq 2\left(1+ \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right)$$ $$\displaystyle \iff (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \geq 3+2\left(\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right)$$ $$\displaystyle \iff \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{\sqrt[3]{abc}}$$ Repacing por sus inversos $$\iff 3AM\ge HM+2GM$$ Que es evidente

Answer 2

Podemos empezar por la eliminación de denominadores de la siguiente manera

$$a^2c+a^2b+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\geq 2a^{5/3}b^{2/3}c^{2/3}+2a^{2/3}b^{5/3}c^{2/3}+2a^{2/3}b^{2/3}c^{5/3}$$

Ahora por la Media Aritmética - Media Geométrica de la Desigualdad,

$$\frac{2a^2c+2a^2b+b^2a+c^2a}{6} \geq a^{5/3}b^{2/3}c^{2/3}$$

Es decir,

$$\frac{2}{3}a^2c+\frac{2}{3}a^2b+\frac{1}{3}b^2a+\frac{1}{3}c^2a \geq 2a^{5/3}b^{2/3}c^{2/3}$$

Del mismo modo, hemos

$$\frac{2}{3}b^2a+\frac{2}{3}b^2c+\frac{1}{3}c^2b+\frac{1}{3}a^2b \geq 2a^{2/3}b^{5/3}c^{2/3}$$ $$\frac{2}{3}c^2b+\frac{2}{3}c^2a+\frac{1}{3}a^2c+\frac{1}{3}b^2c \geq 2a^{2/3}b^{2/3}c^{5/3}$$

Sumando estos tres desigualdades, obtenemos el resultado deseado.

Answer 3

La misma desigualdad mencionado por @Sánchez utilizado tres veces nos lleva a: $$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+3\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$$ Por otro lado, AM-GM nos da: $$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$$ así que: $$-3 \geq -\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$$ Y la adición de la primera y la tercera de las desigualdades da el resultado.