Picard grupo de género de una curva

Question

Hay un ejemplo conocido (o al menos moral, razón por la que una cosa debe existir), de un género $1$ curva de $C/k$ sobre un campo (asumir que es perfecto si usted quiere) con el nº de puntos racionales tales que $\mathrm{Pic}^0(C_{k^{sep}})^G\neq \mathrm{Pic}^0(C)$?

Esta condición está en un libro que estoy leyendo, y me pregunto qué tan fuerte es. Por supuesto, si un punto racional existe, entonces el Leray espectral de la secuencia se divide canónicamente, por lo que siempre se mantiene. Supongo que, en general, debe haber algún caso evidente de donde no se pueden sostener.

Answer 1

Sí, hay ejemplos de la desigualdad. Sucede que esto es lo mío, pero no sé cómo decirle a usted acerca de los ejemplos, sin la introducción de algunos otros resultados que pueden o no estar familiarizado con. Permítanme escribir $\overline{k}$ para un separables cierre de $k$$G$$\operatorname{Aut}(\overline{k}/k)$.

Para un género de una curva de $C/k$ el Leray espectral rendimiento de la secuencia una secuencia exacta

$0 \rightarrow \operatorname{Pic(C)} \rightarrow \operatorname{Pic}(C_{\overline{k}})^G \stackrel{\delta}{\rightarrow} \operatorname{Br}(k) \rightarrow \operatorname{Br}(C),$

y de manera similar a un mapa de $\delta^0$ sobre restricción a grado cero divisor clases. Vamos a poner

$\operatorname{Br}(V/k) = \operatorname{Im}(\delta)$

$\operatorname{Br}^0(V/k) = \operatorname{Im}(\delta^0)$.

Tu pregunta puede ser reformulado como pidiendo un ejemplo en donde la $\operatorname{Br}^0(V/k)$ es distinto de cero.

Ahora me remito a (un caso especial de) la Proposición 24 de esta papel de la mina:

Hay una breve secuencia exacta $0 \rightarrow \operatorname{Br}^0(C/k) \rightarrow \operatorname{Br}(C/k) \rightarrow C(I/P) \rightarrow 0$,

donde (aquí) $C(I/P)$ es finita cíclico de grupo igual a la del índice de $C$ -- es decir, el menos positivo grado de un divisor en $C$ -- dividido por el período de $C$ -- es decir, el menos positivo grado de un divisor en $C$. Por lo tanto, si el periodo es igual al índice y $\operatorname{Br}(C/k)$ es trivial, entonces el grupo $\operatorname{Br}^0(C/k)$ es trivial. Ahora tomar cualquier género de una curva de $C$ $\mathbb{Q}_p$ sin un punto racional. (Por Tate Dualidad, la de Weil-Chatelet grupo de una curva elíptica sobre $\mathbb{Q}_p$ es Pontjragin doble a la compacta totalmente desconectado del grupo $E(\mathbb{Q}_p)$, así que no hace falta para ejemplos). Por un teorema de [Lichtenbaum68], tenemos $I = P = n > 1$,,$C(I/P) = 1$. Su papel también muestra que $\operatorname{Br}(C/k)$ es cíclico de orden $n$, así que hay que ir.