Deje $A$ ser un anillo conmutativo y dejar $F$, $E$ ser $A$-módulos. A continuación, $E$ es el límite de su finitely generado submódulos. Serge Lang, en su Álgebra, p. 604, comenta que una técnica para comprobar si un elemento de $F \otimes E$ es cero, es examinar su imagen en $F \otimes N$ $N$ varía con la finitely generado submódulos de $E$. Podría alguien por favor explique por qué esto es válido técnica? ¿Cuál es la imagen de un elemento de $F \otimes E$ en $F \otimes N$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es el siguiente (bastante desconocido ...) el criterio de que cuando un elemento del producto tensor $M \otimes_A N$ dos $A$-módulos de $M,N$ desaparece:
Elija la generación de conjuntos de $E$$M$$F$$N$. Cada elemento de a $M \otimes_A N$ puede ser escrito como $\sum_{e \in E} e \otimes n(e)$ donde $n : E \to N$ es una función finita de apoyo. Se desvanece si y sólo si existe un mapa de $\lambda : E \times F \to A$ con finito de apoyo, tales que
$$\forall e \in E ~: ~ n(e) = \sum_{f \in F} \lambda(e,f) \cdot f$$ $$\forall f \in F~ : ~ 0 = \sum_{e \in E} \lambda(e,f) \cdot e$$
Usted debe pensar en la $\lambda$ como finita de la matriz que da una razón de por qué $\sum_{e \in E} e \otimes n(e)$ se desvanece, es decir, por qué es optained de $0 \otimes 0$ mediante la aplicación bilineal relaciones.
Hay una buena prueba de esto, el uso de las propiedades generales del producto tensor, que aparecen en Pierre Mazet, Caracterisation des epimorphismes par de relaciones et generateurs. Allí también se utiliza para dar una caracterización completa de epimorphisms en la categoría de anillos conmutativos (que, sin embargo, es inútil en la práctica; en mi opinión, sólo el corolario acerca de la cardinalidad es muy interesante).
En cuanto a la pregunta acerca de Lang comentario: ya está explicado muy bien, así que realmente no sé lo que debo añadir. Desde $M$ es la dirigida colimit de su finitely generado submódulos $M_i$, se deduce que el $M \otimes_A N$ es la dirigida colimit de la $M_i \otimes_A N$ (que son, sin embargo, no submódulos en general!). Esto significa que cada elemento de a $M \otimes_A N$ se encuentra en la imagen de $M_i \otimes_A N \to M \otimes_A N$ algunos $i$, y que los dos elementos de la $M_i \otimes_A N$ $M_j \otimes_A N$ a ser igual en $M \otimes_A N$ fib que ser igual en $M_k \otimes_A N$ algunos $k \geq i,j$. En particular, un elemento de $M \otimes N$, lo que se desvanece, ya que desaparece en algunos $M_i \otimes N$ $i$ lo suficientemente grande. Esto es a menudo utilizado para establecer los resultados generales en álgebra homológica que reducir algo sobre el tensor de productos para el finitely generado caso. Por ejemplo, $M$ es plano si y sólo si $\mathrm{Tor}_{>0}(M,N)=0$ para todos los finitely generadas $N$. Y $M$ plano tan pronto como cada finitely generado submódulo de $M$ plano. Por ejemplo, esto implica que torsionfree $\mathbb{Z}$-módulos son planas (tratar de comprobar directamente). Pero tenga en cuenta que Lang no da ningún criterio de que cuando un elemento en el producto tensor, precisamente, se desvanece.
