Encontrar todos totalidad de funciones que satisfacen $f(2z) = (1-2z)f(z)$

Question

Esto es para hacer la tarea, y que podría utilizar un poco de ayuda. La pregunta

Encontrar todos totalidad de funciones que satisfacen $f(2z) = (1-2z)f(z)$.

Esto es lo que he hecho hasta ahora. Desde $f$ es todo, me escribió $$ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n = a_0 + a_1z + a_2z^2 + a_3z^3 + a_4z^4 + \dotsb $$ para algunos $z \in \mathbb{C}$. Entonces $$ f(2z) = a_0 + 2a_1z + 4a_2z^2 + 8a_3z^3 + 16a_4z^4 + \dotsb $$ y $$ (1-2z)f(z) = a_0 + (a_1-2a_0)z + (a_2-2a_1)z^2+(a_3-2a_2)z^3 + (a_4-2a_3)z^4 + \dotsb. $$ La comparación de los coeficientes, me parece que \begin{align*} a_0 &= a_0 \\ a_1 &= -2a_0 \\ a_2 &= \frac{2^2}{3}a_0 \\ a_3 &= -\frac{2^3}{7 \cdot 3}a_0 \\ a_4 &= \frac{2^4}{15 \cdot 7 \cdot 3}a_0 \\ a_5 &= \frac{2^5}{31 \cdot 15 \cdot 7 \cdot 3} a_0 \\ &\vdots \end{align*} Ahora $f$ parece $$ f(z) = a_0 \left( 1 - 2z + \frac{2^2}{3}z^2 - \frac{2^3}{7 \cdot 3}z^3 + \frac{2^4}{15 \cdot 7 \cdot 3}z^4 - \frac{2^5}{31 \cdot 15 \cdot 7 \cdot 3}z^5 + \dotsb \right). $$ ¿La serie entre paréntesis representan ningún primaria de la función? Además de los denominadores, parece que la expansión de Taylor de $e^{-2z}$.

Answer 1

Su función puede ser expresada como una infinita convergente producto

$$f(z) = (1-z)(1-z/2)(1-z/4)(1-z/8)\dots$$

Es fácil ver directamente a partir de esta expresión que satisface la ecuación funcional $f(2z) = (1-2z)f(z)$.

No creo que se puede expresar en términos de funciones elementales, pero puedo estar equivocado.

Sus valores en los puntos de $z=2^{-n}$ están relacionados con los valores de la Dedekind eta función.

Answer 2

Observaciones:
1) $f(1)=f(2*0.5)=(1-2*0.5)f(0.5)=0$. Por lo tanto $f(2)=(1-2*1)f(1)=0$, y así, por inducción, usted tiene $f(2^k)=0$ todos los $k\geq 0$.
2) Si hay otro cero, decir $z_0\neq 2^k$, $z_k=z_0/2^k$ también se ceros de $f(z)$, y, por tanto,$f(z)=0$. Así:
3) Si $f(z)$ no es idéntica $0$, $f(z)$ desaparece precisamente en $2^k, k\geq0$

Answer 3

Su función tiene cero en $z=1/2$. Creo que las fórmulas deben ser más fácil trabajar con si expande en ese punto.

Answer 4

Si no me equivoco : si $f(z)$ es todo y $f(2z) = (1-2z)f(z)$, $ \int_{C} f(z)dz =0 $ para cualquier cerró $C$. $$ \int_{C} f(z)dz = \int_{C} \frac{f(2z)}{1-2z}dz = 0 $$ entonces por Cauchy de la integral de la fórmula, $f(2 \cdot \frac{1}{2}) = f(1) = 0$,$f(2) = (1-2)f(1) = 0$$f(2^n) = 0$. Ahora pon $z$ formulario $z=2^n$ a su forma de serie de $f(z)$, obtendrá $a_{0} = 0$

Answer 5

Su enfoque con $a_0:=1$, conduce a la siguiente recursión para los coeficientes $a_k$: $$a_k=-{2a_{k-1}\over 2^k-1}\qquad(k\geq1)\ .$$ Desde $$\left|{a_{k-1}\over a_k}\right|={2^k-1\over2}\to\infty\qquad(k\to\infty)$$ de ello se deduce que estos $a_k$ son los coeficientes de Taylor de una función completa. En otras palabras: el procedimiento es no sólo formal, sino que implica de hecho la función $f:\ {\mathbb C}\to{\mathbb C}$.