¿Qué es una expresión algebraica de la función?

Question

Estoy haciendo el primer año de la universidad de cálculo, y estamos aprendiendo acerca de los diferentes tipos de funciones. Según la wikipedia, un algebraica de la función is informally a function that satisfies a polynomial equation whose coefficients are themselves polynomials with rational coefficients.

Yo entiendo lo que esto significa, y me da la esencia de lo que una expresión algebraica de la función por lo general se parece, pero tengo curiosidad, ¿cuál es la definición formal de una expresión algebraica de la función?

Answer 1

De acuerdo a Wikipedia,

Formalmente, una expresión algebraica de la función en $n$ variables sobre el campo $K$ es un elemento de la algebraicas que se cierre el campo de funciones racionales $K(x_1,\ldots,x_n)$.

Aquí está mi mejor tiro en (de manera informal), explicando los términos en la definición formal:

• Un anillo es una estructura en la que podemos sumar y multiplicar.

• Un campo es un anillo en el que también podemos dividir por un número distinto de cero.

• Al $K$ es un campo, el polinomio anillo en $n$ variables, denotado por la expresión $K[x_1,\ldots,x_n]$, es el conjunto de polinomios en las variables $x_1,\ldots,x_n$ cuyos coeficientes están en $K$.

• El campo de funciones racionales $K(x_1,\ldots,x_n)$ se define como $$K(x_1,\ldots,x_n)=\left\{\,\frac{f}{g}\,\Bigg|\,\,\,f,g\in K[x_1,\ldots,x_n], g\neq0\right\},$$ o en otras palabras, las fracciones de polinomios en $K[x_1,\ldots,x_n]$. El nombre de "funciones racionales" tiene sentido porque son "ratios" de polinomios; de hecho, el campo de $K(x_1,\ldots,x_n)$ encuentra en la misma relación con el anillo de $K[x_1,\ldots,x_n]$ como se realiza en el campo de $\mathbb{Q}$ de los números racionales para el anillo de enteros $\mathbb{Z}$.

• Al $L$ es un campo, el de la clausura algebraica de $L$ es el campo de la $\overline{L}$ que se compone de todas las soluciones a los polinomios en $L[x]$.
  $\text{ }$
  Por ejemplo, no todo polinomio en $\mathbb{R}[x]$ (donde $\mathbb{R}$ indica que los números reales) tiene una solución en $\mathbb{R}$ - por ejemplo, $x^2+1=0$ no tiene soluciones en $\mathbb{R}$. Pero el conjunto de todas las raíces de los polinomios en $\mathbb{R}[x]$ de las formas más campo, conteniendo $\mathbb{R}$ - a saber,$\mathbb{C}$, el de los números complejos! Por lo $\mathbb{C}=\overline{\mathbb{R}}$.

Vamos a considerar el caso de funciones racionales. Deje $L=K(x_1,\ldots,x_n)$, y considerar la posibilidad de $L[\,t\,]$ donde $t$ es una variable. El polinomio $t^2-x$ no tiene raíces en $L$; las raíces se $\sqrt{x}$$-\sqrt{x}$, pero estos no viven en $L$. Ellos, sin embargo, viven en $\overline{L}$, que es el campo de funciones algebraicas.

Answer 2

Generalmente si $\rm\: T \supset R\:$ es el anillo de extensión, entonces uno dice que $\rm\:t\in T\:$ es algebraico sobre $\rm\:R\:$ si $\rm\:t\:$ es la raíz de algunos polinomio $\rm\:0\ne f(x)\in R[x]\:.\:$ Algunos autores restringen la definición para el caso de campos o dominios. Uno llama a la extensión de $\rm\:T\supset R\:$ algebraicas si cada elemento de a $\rm\:t\:$ es algebraico sobre $\rm\:R\:.\:$ Elementos de $\rm\:t\:$ que no son algebraicos sobre $\rm\:R\:$ son llamados trascendentales sobre $\rm\:R\:.\:$ Por ejemplo, una simple extensión de $\rm\:R[t]\:$ es un polinomio anillo de $\rm\:R[t]\:\cong R[x]\:$ fib $\rm\:t\:$ es trascendental $\rm\:R\:.\:$

Algebraicas "funciones" son elementos algebraicos sobre una "función" del anillo, es decir, un polinomio anillo de $\rm\:R[x_1,\:\ldots,x_n]\:$ $\rm\:n \ge 1\:$ variables. Justo lo que uno hace en el caso de polinómicas y racionales "funciones", se distingue entre formales algebraicas "funciones", y funcional , es decir, los elementos de un resumen anillo vs elementos de un anillo cuyos elementos son (conjunto teórico) funciones.