$A$ álgebra de tipo finito sobre $\mathbb{Z}$ , $\mathfrak{m}$ max ideal implica $A/\mathfrak{m}$ es un campo finito?

Question

Supongamos que $A$ es un álgebra de tipo finito sobre $\mathbb{Z}$ (es decir, un anillo generado finitamente). Si $\mathfrak{m}$ es un ideal máximo de $A$ ¿se deduce que $A/\mathfrak{m}$ es un campo finito?

Answer 1

Sí, es cierto. . Para la demostración, basta con mostrar que $K := A/{\mathfrak m}$ tiene característica positiva, ya que entonces es una extensión de campo finitamente generada de ${\mathbb F}_p$ y, como tal, de dimensión finita sobre ${\mathbb F}_p$ por Lemma de Zariski .

Supongamos por el contrario que $\text{char}(K)=0$ Así que $K$ es una extensión de campo finitamente generada -por tanto, algebraica finita- de ${\mathbb Q}$ que además está generado finitamente como anillo. Adherido a ${\mathbb Z}$ todos los coeficientes de los polinomios mínimos de un conjunto elegido de generadores de $K/{\mathbb Z}$ muestra la existencia de un $n\in{\mathbb Z}\setminus\{0\}$ tal que $K$ es algebraico sobre ${\mathbb Z}[n^{-1}]$ . Esto implica que $K/{\mathbb Z}[n^{-1}]$ es finito, por lo que ${\mathbb Z}[n^{-1}]$ es un campo - contradicción. $\Box$

Aunque (con suerte) funciona, no me gusta especialmente el argumento porque es indirecto.

Pregunta refinada: ¿Existe una constructivo prueba de ${\mathfrak m}\cap{\mathbb Z}\neq\{0\}$ para ${\mathfrak m}\lhd{\mathbb Z}[X_1,\ldots,X_n]$ ¿máximo?