Subgrupo de torsión (sólo un conjunto) para un grupo abeliano (no abeliano).

Question

Sea $G$ sea un Grupo abeliano.

La cuestión es demostrar que $T(G)=\{g\in G : |g|<\infty \}$ es un subgrupo de G.

Lo intenté de la siguiente manera:

deje $g_1,g_2\in T(G)$ digamos, $|g_1|=n_1$ y $|g_2|=n_2$ ;

Ahora, $(g_1g_2)^{n_1n_2}=g_1^{n_1n_2}g_2^{n_1n_2}$ [Esto se debe a que G es abeliano].

$(g_1g_2)^{n_1n_2}=g_1^{n_1n_2}g_2^{n_1n_2}=(g_1^{n_1})^{n_2}(g_2^{n_2})^{n_1}=e^{n_2}e^{n_1}=e$

Así, si $g_1,g_2$ tienen orden finito, por lo que $g_1g_2$ Entonces.., $T(G)$ es cerrado bajo operación de grupo.

En $|g|< \infty$ Supongamos $|g|=n$ entonces, $g^n=e=g.g^{n-1}$

Por lo tanto, si podemos ver que $g^{n-1}$ está en $T(G)$ entonces hemos terminado como $g^{n-1}$ sería la inversa de $g$ en $T(G)$ .

Ahora, $(g^{n-1})^n=(g^n)^{n-1}=e^{n-1}=e$ .

Así que.., $g^{n-1}$ está en $T(G)$ y así hemos terminado. [no usamos la propiedad abeliana de G para probar la existencia de la inversa]

Así, tenemos $T(G)$ que es cerrado bajo operación de grupo e inversa. Así $T(G)$ es subgrupo de $G$ .

Como no he utilizado la abelianidad (perdón por esta palabra :D) en una de las propiedades, la pregunta natural sería

Es $T(G)=\{g\in G : |g|<\infty \}$ un subgrupo de G para G no abeliano.

El único grupo infinito no abeliano que se me ocurre es $Gl_n(\mathbb{R})$ para un $n\in \mathbb{N}$

No me parece tan obvio decir $|A|<\infty, |B|<\infty$ implica $|AB|<\infty$ ,

No soy capaz de encontrar un ejemplo (fácil) $A,B\in Gl_n(\mathbb{R})$ con $|A|<\infty, |B|<\infty$ pero, $|AB|$ no es finito.

Estoy buscando un ejemplo (como se pide más arriba) y si es posible otro ejemplo de un grupo no abeliano de orden infinito en el que $T(G)$ se vería que no es un subgrupo con menos esfuerzo/al menos que cree que alguien debería conocer.

Gracias de antemano,

Saludos, Praphulla Koushik

Answer 1

Un ejemplo: $G=\langle a,b\mid a^2=b^2=1\rangle$ . En él $|ab|=\infty$ .

Answer 2

Un ejemplo que viene inmediatamente a la mente es el grupo diedro infinito. Como movimientos del plano está generado por $s_1$ = reflexión respecto a la línea $x=0$ y por $s_2$ = reflexión respecto a la línea $x=1$ . La composición $s_1\circ s_2$ es la traslación (en dirección negativa $x$ -eje) en dos unidades, y por tanto tiene orden infinito a pesar de que las dos reflexiones son obviamente de orden 2.

Answer 3

Puede ver la respuesta a través del grupo $\textbf{GL}(2,\mathbb Q)$ y los siguientes miembros:

$$A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},~~B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$

Se puede comprobar fácilmente que $A^4=E=B^3$ pero $|AB|=\infty$ .

Fuente: Teoría del Grupo de Rotman página 27.

Answer 4

Ejemplo de matriz:

Sea $n=2$ , $A=\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , $B=\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}$. Then $A$ and $B$ have order 2, but $AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ tiene un orden infinito.

No es más que la versión matricial del grupo diedro infinito mencionado en las otras dos respuestas. Matrices de la forma $\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ con $a \neq 0$ forman el grupo lineal general afín $\operatorname{AGL}(1,\mathbb{R}) \leq \operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$ y representan las funciones afines $x \mapsto ax+b$ . Uno sustituye el número $x$ con el vector columna $(x,1)$ entonces $\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax+b \\ 1 \end{bmatrix}$ . En cualquier caso, el grupo diedro infinito actúa sobre la recta real y está generado por dos reflexiones, $x \mapsto -x$ representado por $B$ y $x \mapsto 1-x$ representado por $A$ .