Puedes ayudar a encontrar los autovalores y autovectores de la matriz?
Aquí es la matriz:
C = \pequeño \begin{pmatrix} -\sin(\theta_{2} - \theta_{M}) & \sin(\theta_{1} - \theta_{M}) & 0 & \ldots & 0 & \sin(\theta_{2} - \theta_{1}) \\ \sin(\theta_{3} - \theta_{2}) & -\sin(\theta_{3} - \theta_{1}) & \sin(\theta_{2} - \theta_{1}) & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & \sin(\theta_{4} - \theta_{3}) & -\sin(\theta_{4} - \theta_{2}) & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \sin(\theta_{M} - \theta_{M - 1}) & 0 & 0 & \ldots & \sin(\theta_{1} - \theta_{M}) & -\sin(\theta_{1} - \theta_{M - 1}) \\ \end{pmatrix}
donde 0 = \theta_{1} < \ldots < \theta_{M} < 2 \pi. He encontrado 2 vectores para autovalor 0:
v_{1} = (1, \cos(\theta_{1}), \ldots, \cos(\theta_{M - 1}))^{T}
v_{2} = (0, \sin(\theta_{1}), \ldots, \sin(\theta_{M - 1}))^{T}
En el caso de que \theta_{j} = \frac{2 \pi (j - 1)}{M}, \; j = 1, \ldots, M la matriz se vuelve circulantes de la matriz, y es obvio para encontrar todos sus autovectores y autovalores.
Si es esencial para alguien, me puede explicar la aplicación donde esta matriz aparece. En el artículo por Lele, Kulkarni, Willsky - "Convexo-polígono de la estimación del apoyo de la línea de las mediciones" esta matriz representa las condiciones de apoyo consistente mediciones de la función.
Cada una i-ésima fila de la matriz representan las condiciones que i-th descrete radio de curvatura es positiva. Estos son los criterios de consistencia.
Aquí está la descripción detallada de la interpretación geométrica de esta matriz.
Definición 1. La función de apoyo convexo cuerpo K en \mathbb{R}^{n} se define de la siguiente manera:
h_{K}(u) = \sup \limits_{x \in K} (x, u)
Cada valor de la función de apoyo corresponde a 1 apoyo hyperplane de cuerpo convexo.
Suponga que n = 2 (trabajamos en avión). Tal vez esta imagen le ayudará a entender de lo que estamos hablando:
Consideramos M mediciones de h_{1}, \ldots, h_{M} de la función de apoyo en las direcciones u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{M} (todo ||u_{j}|| = 1 y u_{j} = (\cos \theta_{j}, \sin \theta_{j})), y quiere reconstruir el cuerpo K a partir de estas mediciones. En ideal, simplemente tenemos que cruzan la mitad de los espacios correspondientes a la ayuda hyperspaces:
K = \bigcap \limits_{i = 1}^{M} \{x \in \mathbb{R}^{n} : \; (x, u_{i}) < (h_{i}, u_{i})\}
Pero las mediciones son ruidosas, por lo que no podía ser de cuerpo convexo que tiene como soporte los valores de la función en estas direcciones. Así que tenemos que corregir. Para ello necesitamos algunas condiciones que representan a la consistencia de la función de soporte de las mediciones.
Estas son las condiciones:
Teorema 1. Un vector h \in \mathbb{R}^{M} es el vector de la función de soporte de las mediciones de algunos convexo cuerpo si sólo si
C h \geq 0
El valor de h_{i - 1} \sin(\theta_{i + 1} - \theta_{i}) - h_{i} \sin(\theta_{i + 1} - \theta_{i - 1}) + h_{i + 1} \sin(\theta_{i} - \theta_{i - 1}) es el valor de i-th descrete radio de curvatura. Si todos estos valores son positivos, las mediciones son consistentes.
Los vectores
v_{1} = (1, \cos(\theta_{1}), \ldots, \cos(\theta_{M - 1}))^{T}
v_{2} = (0, \sin(\theta_{1}), \ldots, \sin(\theta_{M - 1}))^{T}
se acaba de vectores de soporte de los valores de la función de los cuerpos convexos que consta sólo de un punto: (1, 0) v_{1} y (0, 1) de v_{2}.
La adición de estos vectores y sus combinaciones con otras de apoyo mediciones de la función no cambia descrete radio de curvatura y corresponden a la traducción de la parte convexa del cuerpo en \mathbb{R}^{n}.
