División de campo de $x^{13}+1$ $\mathbb{Q}$

Question

Quiero saber cómo calcular el grado de la extensión de campo $[K:Q]$ donde $K$ es la división de campo de la $x^{13}+1$$\mathbb{Q}$.

Soy nuevo en esta zona y de esta no se trata realmente en mi curso correctamente. Así que por favor no asuma que estoy familiarizado mucho en la respuesta.

1. Desde $-1$ es una raíz que debo a la conclusión de que todas las raíces se $-1w^{n}$ donde $w\in\mathbb{C}$ $w^{13}=1$ o estoy en la búsqueda de las soluciones a $x^{13}=-1 \in\mathbb{C}$, o es sólo la misma cosa desde el $-1\in\mathbb{Q}$ ya?

2. ¿Cómo ir sobre la búsqueda de soluciones a estas ecuaciones en $\mathbb{C}$? Después de encontrar soluciones ¿cómo puedo saber cuáles son los mínimos de los polinomios de satisfacer estas?

Un montón de preguntas al mismo tiempo, pero realmente no tengo a nadie para preguntar. Por cierto, esto no es una tarea escolar!

Son las raíces $-w^{n}$ donde $1\leq$n$\leq12$$w=\mathbb{e}^{\frac{2\pi}{13}i}$? Y si estamos buscando la $n$'th raíces de la unidad al $n$ está compuesta por qué sólo se incluyen los poderes que son coprime a $n$?

Answer 1

Primero vamos factor de $f(x) = x^{13} + 1$ en factores irreducibles. Es claro que $-1$ es un cero, y por lo que el factor linear $x + 1$ divide $x^{13} + 1$. Dividiendo por $x + 1$ da $f(x) = x^{13} + 1 = (x + 1)(x^{12} - x^{11} + x^{10} - \dots + 1)$.

Ahora tome \begin{align*} g(x) &= (x - 1)^{13} + 1 \\ &= \sum_{k = 0}^{13} \binom{13}{k} (-1)^{13 - k}x^k + 1 \\ &= x \sum_{k = 0}^{12} \binom{13}{k + 1} (-1)^{13 - (k + 1)}x^k \end{align*}

Ahora, cuando $k = 12$,$\binom{13}{k + 1} = 1$, y para $0 \leq k < 12$, $13 \mid \binom{13}{k + 1}$, pero $13^2 \nmid \binom{13}{1}$, y por tanto, por el criterio de Eisenstein, el polinomio representado por la suma es irreductible, y así tenemos la factorización $g = xp$, $p$ irreductible. Ahora desde $f(x) = g(x + 1)$, sabemos que $f$ factores $f = (x + 1)q$, $q$ irreductible, y como ya hemos visto, $q$ debe ser igual a $(x^{12} - x^{11} + x^{10} - \dots + 1)$, que es lo irreductible.

Ahora tome ningún cero de $\zeta$$q$, y en el campo $\mathbb{Q}(\zeta)$. Desde $q$ es irreductible, los elementos de la forma $1,\zeta,\zeta^2,\dots,\zeta^{11}$ son linealmente independientes (de lo contrario, $\zeta$ sería un cero de un polinomio de grado menor, contradiciendo la minimality de $q$), y desde $\zeta^{12} = \zeta^{11} - \zeta^{10} + \dots - 1$, el más alto poder de $\zeta$ se puede escribir como una combinación lineal de $1,\zeta,\zeta^2,\dots,\zeta^{11}$. Esto demuestra que $\mathbb{Q}(\zeta)$ tiene el grado 12. Ahora, para cada una de las $0 < k \leq 12$, tomar los elementos $$ \zeta_k = \begin{cases} \zeta^k & \text{when %#%#% is odd} \\ -\zeta^k & \text{when %#%#% is even} \end{casos} $$ Claramente $k$, y estos a $k$ deben ser diferentes (por otra parte, debemos tener $\zeta_k^{13} = -1$, pero sabemos que no es verdad, o de lo contrario, si $\zeta_k$,$\zeta_{12} = \zeta_0 = 1$, $\zeta_i = \zeta_j$ sería un cero de un polinomio de grado inferior a 12, lo que contradice la minimality de $i \neq j$). Puesto que ahora tiene 13 diferentes ceros, sabemos que $\zeta$ es la división de campo de la $q$, y como ya hemos visto, el grado $\mathbb{Q}(\zeta)$ es de 12.

Answer 2

Sugerencia: dado un primitivo $26$th raíz de la unidad $\omega$, muestran que tendríamos $\omega^{13}=-1$. A continuación, también se $(\omega^3)^{13}=(-1)^3=-1$...

Puedes ver cómo conseguir el resto de las raíces de la $x^{13}+1$ de esta forma? ¿Por qué el ser primitivo es importante?

Si usted puede ver que, a continuación, puede ver por qué la $\mathbb{Q}[\omega]$ se divide $x^{13}+1$.

Para ver el grado de la extensión, usted tiene que determinar el grado del polinomio mínimo de a$\omega$$\mathbb{Q}$. Claramente, la mínima polinomio se divide $x^{13}+1$, así que tiene grado menor o igual a 13. De hecho, puesto que x+1 factores que están fuera de eso, es el grado 12 o menos.