¿Por qué las operaciones matriciales elementales no afectan al espacio de filas de una matriz dada?

Question

He demostrado que dos de las tres operaciones elementales no cambiarán la imagen del espacio de filas de la matriz: dado un vector de filas $\vec{v}$ , $k\vec{v}$ tendrán la misma amplitud (multiplicación escalar), y cambiar el orden de las filas no cambiará nada porque la amplitud de los vectores de las filas será la misma (los vectores estarán en un orden diferente). Sin embargo, ¿cómo se demostraría que la suma/resta de vectores no cambia el espacio de filas?

Answer 1

Supongamos que las filas de la matriz son $A=(v_1 ,v_2 ,...,v_n)$ entonces cambiar dos filas, es solo cambiar el orden de los vectores, y como dijiste, no cambia el span de este conjunto. Lo mismo es cierto para multiplicar por un escalar ( $\neq 0$ ) una de las filas.

Supongamos que desea cambiar $v_2$ al vector $v_2 + \alpha v_1$ que es la última operación elemental. La amplitud de $B=(v_1 ,v_2 + \alpha v_1 ,...,v_n)$ contendrá $(v_2 + \alpha v_1) - \alpha v_1 = v_2$ así que $A \subseteq \operatorname{span}(B) \Rightarrow \operatorname{span}(A) \subseteq \operatorname{span}(B)$ . Del mismo modo $v_2 + \alpha v_1 \in \operatorname{span}(A)$ así que $B\subseteq \operatorname{span}(A) \Rightarrow \operatorname{span}(B) \subseteq \operatorname{span} (A)$ .

ahora tienes eso $\operatorname{span}(B)=\operatorname{span}(A)$ por lo que añadir una fila (veces un escalar) a otra no cambia el espacio entre filas.

Answer 2

CONSEJO $\ \ $ Si $\rm\ v\in V\ $ entonces $\rm\ w\in V\ \iff\ w+c\:v\in V\:.\ $ Así $\rm\ span(v,w)\ =\ span(v,w+c\:v)\:.$

Answer 3

Otro intento más de transmitir la respuesta de forma sucinta:

Por definición, el rowspan es la colección de vectores que se puede obtener al tomar (las sumas de) todas las combinaciones posibles de los vectores fila (junto con los múltiplos escalares).

Cuando añades un vector a otro, puedes pensar que se trata de "hacer parte de la combinación antes de tiempo". No vas a cambiar la colección de "todas las combinaciones posibles de las filas" haciendo parte de la combinación antes de tiempo.

Answer 4

Consideremos dos vectores, X y Y en el plano, comenzando en el origen y encerrando un ángulo distinto de cero. Cuántas veces se suma Y a X , continuar geométricamente el vector X en la dirección de Y que significa: Z = X + k*Y - el ángulo entre Y y Z disminuye, pero nunca desaparece.

Answer 5

El punto principal es que las operaciones elementales son invertible para poder volver al conjunto original de vectores.