¿Cuál es la relevancia matemática de si una expresión tiene una forma cerrada?

Question

En la evaluación de expresiones matemáticas, particularmente integrales, a menudo encuentro una afirmación de que la expresión tiene o no tiene una forma cerrada. Busqué la definición, y el punto importante parece ser que las formas cerradas utilizan un número finito de operaciones elementales, donde "elemental" incluye la exponenciación, logaritmos y funciones trigonométricas.

Entiendo que una suma infinita es de alguna manera "no cerrada", por ejemplo, en el sentido de que su valor numérico real solo se puede calcular hasta cierta precisión; y también entiendo que $\exp()$ es de alguna manera elemental. Sin embargo, el valor numérico real de $\exp(x)$ también solo se puede calcular aproximadamente porque la función está definida por una suma infinita. Entonces, ¿no es esto solo un truco, declarando la exponenciación como elemental y por lo tanto "cerrada" mientras que en realidad es igual de infinita y por lo tanto "abierta" que cualquier otra función definida por una suma infinita?

En particular, estoy pensando en la función error, $\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^x e^{-t^2}\,\mathrm dt$. ¿Cómo es $$ \exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} $$ más elemental que $$ \operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n ~ x^{2n+1}}{n! ~(2n+1)} $$ ?

Answer 1

Como otros han señalado, esto es principalmente una cuestión de convención, pero la convención no es completamente arbitraria. Tenga en cuenta que no tiene nada que ver con la aproximación numérica o series infinitas; por ese estándar debería estar igual de insatisfecho con $\sqrt{x}$ o $\sin(x)$ que con $e^x$. (De hecho, las funciones racionales son las únicas funciones cuyos valores se pueden calcular sin series infinitas.)

En cambio, la convención tiene que ver con las ecuaciones diferenciales. La razón por la que $e^x$, $\sin(x)$ y $\cos(x)$ se consideran elementales es que (junto con polinomios) son las únicas funciones que necesitas escribir para soluciones a ecuaciones diferenciales de la forma $Dy = 0$ donde $D$ es un operador diferencial lineal (es decir, un polinomio en $\frac{d}{dx}$). Dado que la linealización es la herramienta más básica en la teoría de ecuaciones diferenciales en general, las funciones exponenciales y trigonométricas juegan un papel central. Los logaritmos (y las funciones trigonométricas inversas) aparecen como inversas de funciones elementales.

Esta discusión es el punto de partida para una teoría más amplia. Se define un campo diferencial como un campo $F$ equipado con una derivada $d; el ejemplo estándar es el campo de funciones racionales equipado con diferenciación. Así como se extienden los campos ordinarios agregando una raíz de un polinomio, se pueden extender los campos diferenciales agregando una solución a una ecuación que involucra la derivación. Resulta que dos extensiones específicas de campo diferencial son fundamentales:

• Exponencial: agregar una solución a $dy = y \cdot df$ para $f \in F
• Logarítmico: agregar una solución a $dy = \frac{df}{f}$ para $f \in F

Este lenguaje puede ayudar a responder preguntas sobre la estructura de las soluciones a ecuaciones diferenciales lineales (por ejemplo, qué funciones tienen antiderivadas elementales).

Answer 2

No lo es. El concepto de "elemental" es bastante arbitrario y, la mayoría de las veces, no relevante. En particular, desde un punto de vista avanzado, el exponencial se define como una serie.