Demostrar que las funciones de salto son medibles

Question

Esta pregunta procede de los ejercicios de Stein y Shakarchi Análisis real Ej. 5.14.

Defina

$$ j_n(x)= \begin{cases} 0& \text{if } x< x_n\\ \theta_n & \text{if } x=x_n\\ 1 &\text{if } x>x_n \end{cases} $$

donde $\{x_n\}$ es una secuencia de números reales y $0\le\theta_n\le 1$ .

Definir mejor

$$J(x)=\sum^{\infty}_{n=1}\alpha_nj_n(x)$$

donde $\alpha_n>0$ y $\sum\alpha_n$ converge.

Demostrar que para cualquier $\epsilon$ el conjunto de $x$ satisfaciendo $$\limsup_{h\to0}\frac{J(x+h)-J(x)}{h}>\epsilon$$

es medible.

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Hasta ahora lo que puedo demostrar es que la suma en $J(x)$ pueden converger absolutamente. Y sé que el límite de funciones medibles es medible. Sin embargo $J$ no es continua, no puedo suponer $h\to0$ como $\frac1n;n\to\infty$ entonces no puedo averiguar si el conjunto anterior es medible.

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Edición: Hay una pista en el libro: considere $$F^N_{k,m}(x)=\sup_{1/k\le|h|\le1/m}\left|\frac{J_N(x+h)-J_N(x)}{h}\right|$$ donde $J_N$ es el $N^{\text{th}}$ suma parcial de $J$

Demuestra que $F^N_{k,m}$ es medible (que no podía $$\lim_{m\to\infty}\lim_{k\to\infty}\lim_{N\to\infty}F^N_{k,m}(x)$$

(Que tampoco puedo relacionarlo con el conjunto original porque me confundo de límite múltiple y supremum)

Answer 1

Para abreviar, escriba

$$\Delta(x,h) := \frac{J(x+h)-J(x)}{h} \qquad \text{and} \qquad \Delta_n(x,h) := \frac{J_n(x+h)-J_n(x)}{h} $$

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Paso 1: Por definición de limsup, tenemos

$$\begin{align*} \limsup_{h \to 0} \Delta(x,h) > \epsilon &\iff \forall m \in \mathbb{N} \, \exists h \in \left[- \frac{1}{m}, \frac{1}{m} \right] \backslash \{0\}: \Delta(x,h) > \epsilon \\ &\iff \forall m \in \mathbb{N} \, \exists k \geq m \, \exists h \in \left[- \frac{1}{m}, \frac{1}{m} \right] \backslash \left(- \frac{1}{k}, \frac{1}{k} \right): \Delta(x,h)>\epsilon \\ &\iff \forall m \in \mathbb{N} \, \exists k \geq m: \sup_{\frac{1}{k} \leq |h| \leq \frac{1}{m}} \Delta(x,h)>\epsilon. \end{align*}$$

Esto demuestra que

$$\{x; \limsup_{h \to 0} \Delta(x,h)>\epsilon\} = \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{k \geq m} \bigg\{x; \sup_{\frac{1}{k} \leq |h| \leq \frac{1}{m}} \Delta(x,h)>\epsilon \bigg\}.$$

En consecuencia, basta con demostrar que para cada $k,m \in \mathbb{N}$ y $\epsilon>0$ el conjunto

$$A := A_{k,m,\epsilon} := \bigg\{x; \sup_{\frac{1}{k} \leq |h| \leq \frac{1}{m}} \Delta(x,h)>\epsilon \bigg\} \tag{1}$$

es medible.

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Segundo paso: Afirmamos que $$A = \bigcup_{\ell \in \mathbb{N}} \bigcup_{N \in \mathbb{N}} \bigcap_{n \geq N} \bigg\{x; \sup_{\frac{1}{k} \leq |h| \leq \frac{1}{m}} \Delta_n(x,h)> \epsilon + \frac{1}{\ell} \bigg\}. \tag{2}$$

Para abreviar la notación, fijamos $$I := I_{k,m} := \left[- \frac{1}{m}, \frac{1}{m} \right] \backslash \left(- \frac{1}{k}, \frac{1}{k} \right).$$

Prueba: Sea $x \in A$ entonces $\sup_{\frac{1}{k} \leq |h| \leq \frac{1}{m}} \Delta(x,h)>\epsilon$ . Según la definición de $\sup$ podemos encontrar $h \in I$ tal que $\Delta(x,h)>\epsilon$ . En particular, existe $l \in \mathbb{N}$ tal que $\Delta(x,h) > \epsilon + \frac{2}{\ell}$ . En $\Delta(x,h) = \lim_{n \to \infty} \Delta_n(x,h)$ tenemos $\Delta_n(x,h) \geq \epsilon+ \frac{1}{\ell}$ para todos $n$ suficientemente grande. Esto demuestra que " $\subseteq$ ".

Ahora dejemos que $x$ sea un elemento del lado derecho de $(2)$ . Entonces existe $\ell ,N \in \mathbb{N}$ tal que $$\sup_{\frac{1}{k} \leq |h| \leq \frac{1}{m}} \Delta_n(x,h)> \epsilon + \frac{1}{\ell}$$ para todos $n \geq N$ . Según la definición de $\sup$ podemos encontrar $h(n) \in I$ tal que $$\Delta_n(x,h(n))> \epsilon + \frac{1}{\ell}. \tag{3}$$ Desde $I$ es compacta, existe una subsecuencia convergente $h_n \to h \in I$ . Elija $n=n(x) \geq N$ suficientemente grande para que $$|J_n(x)-J(x)| \leq \frac{1}{2k \ell}.$$ Esto implica $$\frac{|J_n(x)-J(x)|}{h} \leq \frac{1}{2\ell}$$ para todos $h \in I$ por lo que, en particular, para $h=h_n$ . Combinando esto con $(3)$ obtenemos

$$\begin{align*} \frac{J_n(x+h_n)-J(x)}{h_n} &= \frac{J_n(x+h_n)-J_n(x)}{h_n} + \frac{J_n(x)-J(x)}{h_n}\\ &\geq \epsilon + \frac{1}{\ell} - \frac{1}{2\ell} = \epsilon + \frac{1}{2\ell} > \epsilon. \end{align*} \tag{4}$$

Por último, observamos que $J_n(y) \leq J(y)$ implica

$$\epsilon \stackrel{(4)}{<} \frac{J_n(x+h_n)-J(x)}{h_n} \leq \frac{J(x+h_n)-J(x)}{h_n} = \Delta(x,h_n).$$

En consecuencia, $$\sup_{\frac{1}{k} \leq |h| \leq \frac{1}{m}} \Delta(x,h) \geq \Delta(x,h_n) > \epsilon,$$ es decir $x \in A$ .

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Tercer paso: Recordemos que en realidad queremos demostrar que $A$ definido en $(1)$ es medible. Por la segunda parte, basta con demostrar que los conjuntos de la forma $$ B := B_{N,n,k,m,\epsilon} := \left\{x; \sup_{\frac{1}{k} \leq |h| \leq \frac{1}{m}} \Delta_n(x,h)> \epsilon \right\}$$ son medibles.

Para demostrarlo, utilizamos el siguiente resultado elemental:

Lemma: Sea $f: (a,b) \to \mathbb{R}$ ser de la forma $f = \frac{f_1}{f_2}$ donde $f_1$ aumenta y $f_2 \neq 0$ continua. Entonces $$\limsup_{\mathbb{Q} \ni q \downarrow x} f(q) \geq f(x)$$ para cualquier $x \in (a,b)$ .

Dado que la asignación $h \mapsto J_n(x+h)-J_n(x)$ es creciente, podemos aplicar el resultado anterior para obtener $$\sup_{\frac{1}{k} \leq |h| \leq \frac{1}{m}} \Delta_n(x,h) = \sup_{(\mathbb{Q} \cap I) \cup \{\frac{1}{m}\}} \Delta_n(x,h) \tag{5}$$ donde $I$ se define como en el paso 2. (La desigualdad " $\geq$ "se cumple en cualquier caso, el lema anterior da " $\leq$ ".) Desde $\Delta_n(\cdot,h)$ es medible, esto prueba que el lado izquierdo de $(5)$ es medible y también lo es $B$ .

Answer 2

$J$ es una función no decreciente, por lo que para cualquier $h\neq 0$ si $q_n\to h$ con $|q_n|\geq |h|$ entonces $$\lim_n {J(x+q_n)-J(x)\over q_n} \geq {J(x+h)-J(x)\over h}\geq 0.$$ (Obsérvese que las barras de valor absoluto no son necesarias). Por lo tanto, para $m\geq 1$ tenemos $$\sup_{q \in\mathbb{Q},\, 0<|q|<1/m}{J(x+q)-J(x)\over q}= \sup_{0<|h|<1/m} {J(x+h)-J(x)\over h},\tag1$$ donde $\mathbb{Q}$ significa los números racionales. Dado que $\mathbb{Q}$ es un conjunto contable, la ecuación (1) muestra que $$\Psi_{m}(x):= \sup_{0<|h|<1/m}{J(x+h)-J(x)\over h}$$ es un mapa medible en $[0,\infty].$ Por lo tanto
$$\limsup_{h\to0}{J(x+h)-J(x)\over h} =\inf_{m\geq 1} \Psi_{m}(x)$$ también es medible en $[0,\infty].$