Un límite relacionado con el $\zeta(3)$ y la parte fraccionaria

Question

Necesito algunas pistas, sugerencias para probar

$$\lim_{n\to\infty} n\frac{\displaystyle \left\{\frac{n}{\sqrt{1}}\right\}+ \left\{\frac{n}{\sqrt{2}}\right\}+ \left\{\frac{n}{\sqrt{3}}\right\}+\cdots +\left\{\frac{n}{\sqrt{n^2}}\right\}}{\displaystyle \left\{\frac{n}{\sqrt[3]{1}}\right\}+ \left\{\frac{n}{\sqrt[3]{2}}\right\}+ \left\{\frac{n}{\sqrt[3]{3}}\right\}+\cdots +\left\{\frac{n}{\sqrt[3]{n^3}}\right\}}=\frac{\pi^2-12}{6\zeta(3)-9}$$

Mi primera idea fue utilizar Teorema de Stolz-Cesàro, pero esto no parece una cosa fácil de hacer.

Answer 1

Sería más fácil escribir como %#% $ #%

El numerador es $$\frac{2-\zeta(2)}{3/2-\zeta(3)}$ veces un Riemann Resumen $n^2$ $

El denominador es $$\int_{0}^1 \left\{\frac{1}{\sqrt{x}}\right\}dx$ veces una suma de Riemann para:

$n^3$$

Desde $$\int_0^1 \left\{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right\}dx$ y $\int_{0}^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2$ que parece el lugar adecuado para empezar, ya que es de $\int_{0}^1\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx = 3/2$ $\int_{0}^1 \{f(x)\}dx$ ajustado restando un valor que puede expresarse como una suma.

En concreto,

$$\begin{align}\int_0^1 \left\lfloor \frac{1}{\sqrt[k]{x}}\right\rfloor dx&=\sum_{n=1}^\infty \int_{\frac{1}{(n+1)^k}}^{\frac{1}{n^k}} ndx\\ &=\sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n^k}-\frac{1}{(n+1)^k}\right) = \zeta(k) \end {Alinee el} $$