El Nullstellensatz y el Teorema Fundamental del Álgebra

Question

Me encontré con un problema interesante que básicamente decía algo parecido a ``Demostrar que el Nullstellensatz de Hilbert es equivalente al Teorema Fundamental del Álgebra''. Mi geometría algebraica es un poco floja, pero siempre tuve la impresión de que el Nullstellensatz era básicamente una forma multidimensional del teorema fundamental del álgebra. ¿Estoy en lo cierto, o me estoy perdiendo algo y necesito echar un vistazo más de cerca?

Answer 1

Probablemente se quiere decir lo siguiente: Si $k$ es un campo, entonces el enunciado del Nullstellensatz de Hilbert se cumple para $k[x]$ sólo si $k$ es algebraicamente cerrado. Es una observación fácil. Pero es bien sabido que entonces ya se cumple para $k[x_1,\dotsc,x_n]$ para arbitraria $n$ .

Answer 2

Sí, aunque valdría la pena señalar que en realidad no se necesita la formulación de "fuerza total" del Nullstellensatz. Quizás sea más exacto (quizás un poco pedante, por supuesto) decir que se parece más al Nullstellensatz débil, porque un polinomio no trivial da lugar a un ideal $I$ que se encuentra bajo un ideal maximal $\mathfrak{m}$ . La Nullstellensatz débil nos dice exactamente cuáles son éstos (los puntos de la variedad, en nuestro entorno), de ahí que $\emptyset \neq V(\mathfrak{m}) \subseteq V(I)$ .