Tomar la mitad de derivados de $e^x$

Question

Al intentar enseñar a mí mismo de que las fracciones de cálculo, me encontré con un trágico temprano obstáculo. Por no poder regla de fracciones de derivados, estoy teniendo un montón de problemas para evaluar de una forma cerrada.

A alguien en mente caminar conmigo a través de el proceso de tomar la mitad de derivados de $$f(x) = e^x$$

Realmente la parte más difícil es evaluar

$$\int_0^x \frac{e^t}{\sqrt{x-t}} dt$$

pero una plena la mano que sostiene que sería realmente útil.

Answer 1

Para la integral: tenga en cuenta que $x$ es una constante!

$$\int_0^x \frac{e^t}{\sqrt{x-t}} dt$$

El uso de la sustitución de $u=x-t$,$du=-dt$. Esto nos da:

$$\int_0^x -\frac{e^{x-u}}{\sqrt{u}} du$$

$$-e^x\int_0^x \frac{e^{-u}}{\sqrt{u}} du$$

$$-e^x\int_0^x u^{-1/2}e^{-u} du$$

$$-e^x\gamma\left(\frac{1}{2},x\right)$$

Donde $\gamma$ es la incompleta inferior de la función gamma.

Esto también puede ser escrito como $$-e^x \sqrt{x} E_{\frac{1}{2}}(x)$$

el uso de la integral exponencial de la función. Se ha comprobado que no hay forma cerrada de esta función.

Answer 2

Vamos que asumir que $x>0$. Desde: $$ e^x = \sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!}\tag{1} $$ y: $$ D^{1/2} x^{m} = \frac{x^{m-1/2}\,\Gamma\!\left(m+1\right)}{\Gamma\!\left(m+\frac{1}{2}\right)}\tag{2}$$ (mira aquí, por ejemplo), tenemos: $$ D^{1/2} e^x = \frac{1}{\sqrt{x}}\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{\Gamma\!\left(n+\frac{1}{2}\right)}=\frac{1+e^x\sqrt{\pi x}\;\text{Erf}(\sqrt{x})}{\sqrt{\pi x}}\tag{3}$$ donde $\text{Erf}$ es lo habitual en la función de error.

Answer 3

$${1 \over {\Gamma(1/2)}} \cdot {{d} \over {dx}} \int_0^x {{e^t} \over {\sqrt {x-t}}} \ dt$$ Donde $\Gamma(x)$ es la generalización de la función factorial. Esto es igual a $${1 \over {\Gamma(1/2)}} \cdot {{d} \over {dx}} \int_0^x {{e^t} \over {\sqrt {x-t}}} \ dt=e^x \cdot erf(\sqrt{x})$$ donde $erf(u)$ es la función de error. Esto es más de una definición de un técnico de la cosa, de modo que usted realmente no necesita probar que el anterior per se. Sin embargo, la sustitución de $u=\sqrt{x-t}$ y la integración por partes trae lo anterior en cumplimiento con $$erf(x)={2 \over {\sqrt{\pi}}} \cdot \int_0^x e^{-t^2} \ dt$$

Answer 4

Si esta es realmente la integral desea, a continuación, notificación que se están integrando con respecto a $t$, por lo que el tratamiento de $x$ como una constante. Entonces $$\int \frac{e^x}{x-t} dt = e^x\int\frac{1}{x-t} dt$$ and the antiderivative of $\frac{1}{x t}$ with respect to $t$ is easily seen to be $-\ln(x-t)+C$. Ahora evaluar la integral como lo haría normalmente con una integral definida.