La convergencia de la suma infinita (factorial y de la raíz)

Question

Encontrar la convergencia de la siguiente secuencia: $$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{n!}{(2n)!}\right)^{\frac{1}{n}}$$ Traté de usar la prueba de razón. No era útil. También he utilizado el logharitmic de prueba (no estoy seguro de que este es el nombre estándar): $\lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln\frac{1}{u_n}}{\ln n}=l$. Si $l>1$, $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ converge. No funcionó bien. Gracias por su ayuda!

Answer 1

$$\left(\frac{n!}{(2n)!}\right)^{1/n}=\left(\frac1{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}\right)^{1/n}>\left(\frac1{(2n)(2n)\cdots(2n)}\right)^{1/n}=\frac1{2n}$$

por tanto, la serie diverge.

Answer 2

Usando la aproximación de Stirling, se obtiene $$a_n=\left(\dfrac{n!}{(2n)!}\right)^{\frac{1}{n}} \sim \left( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{\sqrt{4 \pi n}}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(\frac{e}{2n}\right)^{2n}\right)^{1/n}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{1/n} \frac{e}{2n}$$

Por tanto, la serie diverge.