Es posible que $(ab)^{-1}$ está definido si bien $a^{-1},b^{-1}$ no?

Question

Quiero preguntar acerca de las propiedades de las unidades de álgebra abstracta.

En un anillo de $R$, una unidad de $u$ es un elemento invertible. Deje $u=ab$. Es posible que $a$ $b$ no son unidades? Es posible que esté prime?

Motivación: Si $u=ab$, $(ab)^{-1}$ existe. Sabemos que si los inversos de $a$ $b$ existen,$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$. Sin embargo, si los inversos de $a$ $b$ no existen, me siento $ab$ todavía puede ser una unidad. Sin embargo, no estoy seguro de esto.

Gracias de antemano!

Answer 1

Deje $R = L(\ell^2)$ lineal continua de los operadores en $\ell^2$. Definir $a,b \colon \ell^2 \to \ell^2$ por $$ a(x_1, x_2, \ldots) = (x_2, x_3, \ldots) $$ y $$ b(x_1, x_2, \ldots) =(0, x_1, x_2, \ldots) $$ A continuación, $ab = 1$ es la identidad, por lo tanto invertible, pero ni $a$ ni $b$ son unidades de medida $a$ no es uno a uno, donde $b$ no es sobre.

Answer 2

No es posible en anillos conmutativos. En general, si $ab$ es una unidad, entonces existe, $v\in R$ tal que $(ab)v=1$. Por lo tanto $a(bv)=1$. Por eso, $a$ es un derecho de la unidad. S del mismo modo se puede demostrar que $b$ está a la izquierda de la unidad.

Answer 3

Si $ab$ es invertible, entonces existe un $x\in R$$x\cdot ab = ab\cdot x = 1$. De $(xa)b = 1$ tenemos que $b$ es de izquierda es invertible, y de $a(bx) = 1$ tenemos que $a$ es de derecha es invertible.

En el ejemplo de la respuesta de martini muestra que un elemento invertible no es necesariamente lo correcto-es invertible.

Anillos con la propiedad "left-invertible iff derecho-invertible" se llama Dedekind finito. Así, en Dedekind finito anillos, su propiedad es true. Casos especiales de Dedekind finito anillos son anillos conmutativos (respuesta de Anupam) y finito de los anillos.