¿Por qué el radio de convergencia y no de "puntos de convergencia" para la alimentación de la serie?

Question

Mi cálculo es muy oxidado y estoy tratando de reconstruir en una interfaz intuitiva. Actualmente, estoy buscando en el poder de la serie y tiene problemas para entender el radio de convergencia.

Me siento cómodo con el hecho de que si el límite de la función en un punto determinado, $a$ no existe, el poder de la serie no converge para este valor de $x$. Pero, ¿por qué no puede la serie converge para $x$ cuyo valor absoluto es mayor que este punto? ¿Por qué no hay "puntos de convergencia" en lugar de un solo radio de convergencia?

Answer 1

Asumir la serie $\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ converge para algunos $z\in{\mathbb C}$. Entonces converge absolutamente para cualquier $z'$ que está más cerca del origen de $z$; véase la prueba a continuación.

A partir de este hecho se deduce de la mera lógica, que cuando la serie diverge en algunos $z\in{\mathbb C}$ que no convergen en un punto de $z''$ más lejos del origen.

Prueba. Al $\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ converge en$z$, entonces hay un $M$ $\left|a_kz^k\right|\leq M$ todos los $k$. Supongamos ahora que $0\leq r<\left|z\right|$. A continuación, $q:={r\over\left|z\right|}<1$ y $$\left|a_k\right|r^k=q^k\left|a_k z^k\right|\leq Mq^k\qquad(k\geq0)\ .$$ De ello se sigue que la serie $\sum_{k=0}^\infty\left|a_k\right|r^k$ converge.

Answer 2

Esto es debido a Abel lema, que es la base para funciones analíticas:

Abel lema. – Si $r_0$ es el número real positivo tal que la secuencia de $(\lvert a_n\rvert r_0^n)$ está delimitada desde arriba, a continuación, la serie de $\sum a_nz^n$ es absolutamente convergente para $\lvert z\rvert<r_0$.

Por lo tanto, si $R=\sup\bigl\{\lvert z\rvert\:;\: \sum a_nz^n\enspace\text{converges}\bigr\}$, la serie converge si $\lvert z\rvert<R$ y trivialmente diverge si $\lvert z\rvert>R$.

Answer 3

Si $(a_n)_{n\in\Bbb N}$ es una secuencia de números complejos tales que la serie $\sum_{i=0}^na_n$ es convergente en el sentido usual entonces, sin duda, la secuencia de $(a_n)_{n\in\Bbb N}$ es limitado (se deben converger a$~0$); de ello se deduce que para cualquier $z\in\Bbb C$ $|z|<1$ la serie $\sum_{i=0}^na_nz^n$ es absolutamente convergente, y por lo tanto convergente. Esto puede ser aplicado a la situación en la que un poder de la serie de $\sum_{i=0}^na_nx^n$ converge para $x$ igual a un determinado valor complejas$~z_0\neq0$; automáticamente también converge para cualquier $x=zz_0$$|z|<1$, esto es, siempre que $|x|<|z_0|$. Esto implica que el dominio de convergencia de (formal) de potencia de la serie, si no igual a$\{0\}$ o a$~\Bbb C$, es el interior de un disco centrado en$~0$, además de algún subconjunto de los límites de ese disco.

Answer 4

Para la alimentación de la serie, la zona de convergencia en realidad es el interior de un círculo, tal vez con algunos puntos en la frontera. Aquí está una cita de Rudin los Principios de Análisis Matemático, segunda edición (también llamado Bebé Rudin), página 60, en referencia a la alimentación de la serie de los números complejos $z$.

Más específicamente, con toda la potencia de serie, y se asocia a un el círculo, el círculo de convergencia, de tal manera que (19) converge si $z$ es en el interior del círculo y se aparta de $z$ está en el exterior (para cubrir todos los casos, debemos tener en cuenta el plano como en el interior de un círculo de radio infinito, y un punto de un círculo de radio igual a cero). El comportamiento en el círculo de convergencia es mucho más variado y no puede ser descrito de manera sencilla.

Rudin, a continuación, sigue probando varias pruebas de convergencia, tales como el poder y la relación de pruebas, que le dan un radio de convergencia.

@GEdgar, en su comentario, señala que otra serie de funciones que pueden dar una convergencia de la región de los otros que de un círculo, pero su pregunta es acerca del poder de la serie.

Answer 5

Yo creo que en este caso, un ejemplo vale más que una respuesta detallada. Considerar el poder de la serie $$ \sum_{i=1}^\infty\frac{(-1)^{i+1}}{i2^i}x^i $$ (esto es$\log(1+x/2)$$|x|<2$).

Ahora, aplique la prueba de razón (pero mantener el $x$) para obtener $$ \lim_{i\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{i+2}}{(i+1)2^{i+1}}x^{i+1}}{\frac{(-1)^{i+1}}{i2^i}x^i}\right|=\lim_{i\rightarrow\infty}\left|\frac{i}{2(i+1)}\right||x|. $$

El límite de esto es $\frac{|x|}{2}$.

Ahora, sabemos que la prueba de razón de converge cuando este límite es menor que 1, esto sólo sucede cuando se $\frac{|x|}{2}<1$ o que $|x|<2$. Esta es su intervalo de convergencia.

En general, para la alimentación de la serie, si usted intenta esto con la relación o la raíz de las pruebas (en este generalidad, que a menudo utilizan la $\limsup$, en lugar del límite), se obtiene un valor de los coeficientes y su $|x|$ debe ser lo suficientemente pequeño para que la serie pasa la prueba; si $|x|$ no es lo suficientemente pequeña, que la prueba dice que la serie diverge - es la mayor que 1 o menor que 1 en los ensayos a los que dicen que sólo hay una región donde la serie converge.