¿Qué porcentaje de los números es divisible por el conjunto de dos números primos?

Question

¿Qué porcentaje de los números es divisible por el conjunto de dos números primos $\{3,5,7,11,13,17,19,29,31\dots\}$ $N\rightarrow \infty?$

Aclaración

Tomando el primer gemelo prime y la creación de un conjunto de sus múltiplos : $\{3,6,9,12,15\dots\}$ y multiplicando por $\dfrac{1}{3}$ da $\mathbb{N}: \{1,2,3,4,5\dots\}.$ Este conjunto que representa a $\dfrac{1}{3}$ $\mathbb{N}.$

Tomar los dos primeros: $\{3,5\}$ y la creación de un conjunto de sus múltiplos da: $\{3, 5, 6, 9, 10\dots\}.$ Este conjunto representa el $\sim \dfrac{7}{15}$ $\mathbb{N}.$

Tomando los tres primeros: $\{3,5,7\}$ y la creación de un conjunto de sus múltiplos da: $\{3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14\dots\}.$ Este conjunto representa el $\sim \dfrac{19}{35}$ $\mathbb{N}.$

¿Qué porcentaje de $\mathbb{N}$ entonces, el conjunto formado por todos los divisores de todas las camas de los números primos $\{3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18\dots\}$ constituyen? (es decir, Este conjunto de $\times \ ? \sim \mathbb{N}$)

Answer 1

Según Brun teorema, el doble de los números primos constituyen un conjunto pequeño. Es decir, la suma de sus recíprocos, $$ \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right) + \cdots, $$ es convergente. Numéricamente se estima en alrededor de $1.902$, por lo que la suma con la sola duplicado $(1/5)$ eliminado es $B\approx 1.702$. La probabilidad de que un gran número aleatorio no es divisible por cualquier twin primer enfoques $$ \prod_{p\en P_2}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{7}\right)\cdots < \exp\left(-\sum_{p\en P_2}\frac{1}{p}\right)=e^{-B}, $$ y así el natural de la densidad de twin-primer-divisible números es, al menos, $1-e^{-B}\approx 0.8177.$ (Estimación del producto utilizando el doble de los números primos a través de dos millones da la densidad de $> 0.806$.)

Como una comprobación de validez en este, el número de camas-primer-divisible números de $10^5$ a través de $2\times 10^5 - 1$ es exactamente $81714$, para una densidad de $0.8171$; y esto debería aumentar ligeramente para números más grandes.

Answer 2

Como un apéndice de la mjqxxxx excelente respuesta, presento un enfoque diferente que ofrece una menor mejora en la precisión (aunque la diferencia de $\approx 2\%$ es lo suficientemente grande para ser notable, teniendo en cuenta cómo poco a poco el producto converge en un gran $N$).

Deje $\mathcal {P} (\mathbb{P}_2) $ representan el poder conjunto de todos los doble de los números primos, $\mathcal {P} (\mathbb{P}{_2}(N)) $ el juego de poder de la primera $N$ doble de los números primos, y $\mathcal {P}_\kappa (\mathbb{P}{_2}(N)) $ el conjunto de los subconjuntos de cardinalidad $\kappa.$ También vamos a $\mathcal {P}_\kappa \small{\left(\prod\frac{1}{p\in \mathbb{P}_2}\right)}$ representa el subconjunto de los productos de reciptocals de dos números primos en la que se especifica la cardinalidad.

Por ejemplo, $A=\{3,5,7,11\},\ \mathcal {P}_2 {\left(\prod\frac{1}{A}\right)}$ representaría el conjunto de $\left\{\frac{1}{15},\frac{1}{21},\frac{1}{33},\frac{1}{35},\frac{1}{55},\frac{1}{77}\right\}.$

Desde

\begin{align} &\quad \prod_{p\in \mathbb{P}_2}^{N}\left(1-\frac{1}{p}\right)&=&\quad 1-\sum^{N} \left (\large\mathcal {P} _ {\text {odd}} \small{\left(\prod\frac{1}{p\in \mathbb{P}_2}\right)} - \large\mathcal {P} _ {\text {even}} \small{\left(\prod\frac{1}{p\in \mathbb{P}_2}\right)} \right) \\ \end{align}

como puede verse fácilmente en el caso de $N=3:$

\begin{align} &\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{15}-\frac{1}{21}-\frac{1}{35}+\frac{1}{105}\right)= 1-\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{7}\right)\\ \end{align}

de ello se sigue que

\begin{align} &\quad \prod_{p\in \mathbb{P}_2}\left(1-\frac{1}{p}\right)&= &\quad \quad \sum _{p\in \mathbb{P}_2} \frac{1}{p}\\ &&&-\quad \frac{1}{2} \left(\sum _{p\in \mathbb{P}_2} \frac{1}{p}\right)^2-\frac{1}{2} \sum _{p\in \mathbb{P}_2} \frac{1}{p^2}\\ &&&+\quad \frac{1}{6} \left(\sum _{p\in \mathbb{P}_2} \frac{1}{p}\right)^3-\frac{1}{2} \left(\sum _{p\in \mathbb{P}_2} \frac{1}{p^2}\right) \sum _{p\in \mathbb{P}_2} \frac{1}{p}+\frac{1}{3} \sum _{p\in \mathbb{P}_2} \frac{1}{p^3}\\ &&&-\quad \dots \end{align}

donde los coeficientes se muestran en la Tabla 24.2 en 1 (multinomials M2) multiplicado por el $(-1)^{q},$ donde $q$ es el número de elementos en el entero correspondiente partición.

Esta representación resulta ser beneficioso computacionalmente, ya que el poder de las sumas convergen rápidamente. $\infty$ en la suma puede ser reemplazado por un razonablemente pequeño $N,$ $\sum _{p\in \mathbb{P}_2} \frac{1}{p}$ reemplazado por Brun constante (vea la nota de abajo), para dar a la mejora ligeramente la aproximación de las $\approx 83.83 \%.$

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Nota: Como Erick Wong notas en los comentarios de abajo, la actual "conocido" el valor de la constante de Brun se basa en un argumento Heurístico (Hardy Y Littlewood) que $\pi_2(x) \approx 2C_2 \int_2^x \frac{dt}{\left(\log t \right)^2},$ donde $C$ es el doble prime constante. Muy bien le da aquí una estimación de $B_2$ $1.9021605823\pm 8\times10^{-10}.$

1. Milton Abramowitz y Irene A. Stegun (eds.), Manual de funciones matemáticas, 9ª ed., Publicaciones De Dover, Nueva York, 1972.