¿Cuál es la prueba de que para cualquier triángulo agudo $ABC$ entonces..:
$$\cos^3 (A)+ \cos^3 (B)+\cos^3 (C)+\cos(A)\cdot\cos(B)\cdot\cos(C)\ge\frac{1}{2} $$
Respuestas
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user15453
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Quiero escribir una solución completa, porque creo que ha sido muy instructiva para mí y quiero compartir mis pensamientos con todos.
Para empezar, como dijo Tapu, usamos AM-GM para demostrar que $$\cos^3 x+\frac{\cos x}{4}\geq \cos^2 x.$$ ¿Por qué uno haría eso? Bueno, básicamente se trata de un caso de igualdad. La desigualdad propuesta es una igualdad en el caso de un triángulo equilátero, y en ese caso uno tiene que AM-GM es de hecho una igualdad. Pues bien, entonces tenemos que $$\operatorname{LHS}\geq \cos^2(A)+\cos^2(B)+\cos^2(C)+2\cos(A)\cos(B)\cos(C)-\cos(A)\cos(B)\cos(C)-\frac14\left(\cos(A)+\cos(B)+\cos(C)\right)\stackrel{?}{\geq}\frac12\quad (\clubsuit)$$ Y observo que la última desigualdad es todavía una conjetura por demostrar. Pero ahora
Teorema 1: Dejemos que $ABC$ sea un triángulo. Entonces $$\cos^2(A)+\cos^2(B)+\cos^2(C)+2\cos(A)\cos(B)\cos(C)=1.$$
Prueba: $$\begin{split}&\cos(A+B)=\cos(\pi-C)=-\cos(C)\\ \Rightarrow &\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)=-\cos(C)\\\Rightarrow &\cos(A)\cos(B)+\cos(C)=\sin(A)\sin(B)\\\Rightarrow&(\cos(A)\cos(B)+\cos(C))^2=(1-\cos^2(A))(1-\cos^2(B)),\end{split}$$ de la que se desprende la tesis.
Teorema 2: Dejemos que $ABC$ sea un triángulo. Entonces $$\cos(A)\cos(B)\cos(C)\leq \frac 18.$$
Prueba: es fácil ver que el único caso interesante es cuando $ABC$ es un triángulo agudo, los demás casos son triviales. Por AM-GM y la desigualdad de Jensen, como el coseno es cóncavo en $(0,\frac\pi2)$ se entiende que $$\sqrt[3]{\cos(A)\cos(B)\cos(C)}\leq \frac13(\cos(A)+\cos(B)+\cos(C))\leq \cos\left(\frac{A+B+C}{3}\right)=\frac12.$$ Eleva todo a la tercera potencia para obtener el resultado deseado.
Teorema 3: Dejemos que $ABC$ sea un triángulo agudo. Entonces $$\cos(A)+\cos(B)+\cos(C)\leq \frac 32.$$
De nuevo esto es una simple consecuencia de la desigualdad de Jensen más la concavidad del coseno en $(0,\frac\pi 2)$ . Por lo tanto, $$\cos(A)+\cos(B)+\cos(C)\leq 3\cos\left(\frac{A+B+C}{3}\right)=\frac 32.$$
Resumiendo todo, y volviendo a $(\clubsuit)$ Finalmente, concluimos que $$\operatorname{LHS}\geq 1-\frac 18-\frac 38=\frac 12.$$
XXX
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Pistas: Observa que para el triángulo agudo, los cosenos de todos los ángulos son positivos. Por lo tanto, por medio de la desigualdad aritmética-geométrica $$\cos^3 x+\frac{\cos x}{4}\ge \cos^2 x\Leftrightarrow\cos^3 x\ge \cos^2 x-\frac{\cos x}{4},\quad\forall x=A,B,C$$
Por lo tanto, nos quedamos con la siguiente cantidad, $$\sum \cos^2x -\frac{1}{4}\sum \cos x +\Pi \cos x$$
Ahora hay muchas cosas útiles, tienes que usar algunas de ellas:
- Para cualquier triángulo, $\sum \cos^2x +2\Pi \cos x=1$
- $\sum\cos x\le \frac{3}{2}$
- $\sum\cos^2 x\ge \frac{3}{4}$
- $\Pi\cos x\le \frac{1}{8}$
Una observación: La igualdad se mantiene si $A=B=C$
