Exponencial del operador diferencial

Question

No estoy seguro de que esta pregunta esté bien planteada. Pero hoy he aprendido que $e^Df(x) = f(x+1)$ donde $D$ es un operador diferencial y

$$e^D \triangleq \sum_{i=0}^{\infty} \frac{D^i}{i!}.$$

(ref. Respuesta de Dan Piponi )

Así que tenía curiosidad por saber si la ecuación diferencial

$$\frac{df(t)}{dt} = e^Df(t) = f(t+1)$$

tiene alguna solución aparte de $f = 0$ ?

Answer 1

Primero hacemos un cálculo heurístico.

La ecuación en cuestión es $Df = e^{D}f$ . Por lo tanto, basta con resolver que $D = e^D$ . Tratamiento de $D$ como un número complejo, no es difícil ver que esta ecuación tiene un cero en $\Bbb{C}$ . Por ejemplo, podemos explotar Función Lambert-W para especificar dicho número. Ahora dejemos que $r$ satisfacer $r = e^r$ . Entonces la función $f(t) = e^{r t}$ satisface la propiedad deseada.

De hecho, demostramos que esto es así. Tenemos

$$Df(t) = r e^{r t} = e^{r}e^{r t} = e^{r(t+1)} = f(t+1) = e^{D}f(t).$$

Por lo tanto, $f(t)$ satisface la propiedad deseada.

Si nos limitamos a las funciones de valor real, al tomar la parte real o la parte imaginaria también se obtienen estos ejemplos no triviales.

Answer 2

Vamos a detallar el operador diferencial $ {\rm e}^{aD} $ . Está definida por la serie de potencias $ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{D^k}{k!} $ . Nos gustaría saber su efecto en la función $f(x)$ . Primero veamos su efecto en la función $x^m$ . $$ {\rm e}^{ aD } x^m = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^kD^k}{k!} x^m = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(k-m+1)k!} a^k x^{m-k} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{m!}{(k-m)!k!} a^k x^{m-k}$$ $$= \sum_{k=0}^{\infty}{m \choose k} a^k x^{m-k} = \sum_{k=0}^{m}{m \choose k} a^k x^{m-k} = (x+a)^m\,, $$ por el teorema del binomio. Esto significa que el operador diferencial funciona como un operador de desplazamiento que desplaza el argumento en $a$ . Ahora, podemos utilizar este resultado para ver el efecto en una función $f(x)$ . Si la función $f(x)$ tiene una serie de potencias en $x=0$ entonces $$ {\rm e}^{aD} \sum_{k=0}^{\infty} f_k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} f_k {\rm e}^{aD} x^k = \sum_{k=0}^{\infty} f_k (x+a)^k = f(x+a)\,.$$ Así, el efecto general del operador diferencial ${\rm e}^{aD}$ en la función $f(x)$ no es más que desplazar el argumento por $a$ . En su caso $a=1$ .