¿La operación de un grupo de la materia cuando se habla de isomorfismo?

Question

Cuando decimos que dos grupos son isomorfos a cada uno de los otros, tenemos que especificar las operaciones que en cada grupo? ¿Importa esto? Por ejemplo, aquí es un problema de el libro "Algebra y Geometría' por A. F. Beardon:

Deje $G$ el grupo de real $2\times 2$ matrices de la forma $$M(a)= \begin{pmatrix} a & a \\ a & a \\ \end{pmatrix} $$ donde $a \neq 0$.

Mostrar que $G$, bajo el usual de la multiplicación de matrices, es isomorfo a $\mathbb R^*$, el grupo de no-cero de los números reales.

He resuelto este problema mediante la definición de un isomorfismo $$\theta(M(a))=2a$$ lo cual no implica la especificación de la operación en grupo $\mathbb R^*$.

Así que mi pregunta es : Cuando hablamos de la isomorfismo entre los dos grupos, es importante especificar también las operaciones de la definición de los dos grupos?

Answer 1

Sí, no tiene sentido hablar de un mapa de conjuntos de ser un isomorfismo de grupos a menos que usted tiene una estructura de grupo especificado en el origen y el de destino.

Con eso se dice, a menudo sólo hay una "razonable" la estructura de un grupo en un conjunto, y si la estructura del grupo no se especifica, nosotros siempre significa que uno. Por ejemplo, la única razonable estructura de grupo en la $\mathbb{R}^\times$ es la multiplicación, y su libro habría escrito una frase que explica lo que significó si significaba lo contrario.

Answer 2

Usted afirma que $\theta$ es un isomorfismo. Pero, ¿cómo comprobar que esta afirmación es verdadera? Lo que tenía que hacer, con el fin de verificar la definición de isomorfismo, es verificar que la ecuación de $\theta(M(a) \cdot M(b)) = 2a \cdot 2b$. Que "$\cdot$" carácter " en el lado izquierdo es el grupo de operación $G$, y el "$\cdot$" carácter " en el lado derecho está el grupo de operación $\mathbb{R}^*$. Así que no implican la especificación de la estructura de grupo en el origen y el destino.