No estoy seguro de si el título es lo suficientemente descriptivo; siéntase libre de cambiarlo si se te ocurre algo mejor.
He estado leyendo a través de Feynman las clases de Física. En el primer volumen, se dedica un capítulo a sólo matemáticas. Comienza con los números naturales y además por 1, y construye su camino a los números complejos, con el propósito de demostrar la fórmula de Euler $e^{ix} = \cos x + i \sin x$. Es una forma muy agradable de leer, pero hay una parte en el medio, estoy teniendo problemas para entender.
Después de haber introducido los números irracionales, él comienza a explicar cómo calcular (o definir, más bien) irracional potencias sucesivas aproximaciones de poderes racionales y cómo calcular los logaritmos, que es un problema relacionado. En particular, se da como un ejemplo de cómo encontrar soluciones a las ecuaciones de $x = 10^\sqrt{2}$$x = \log_{10} 2$. Para hacer esto, se hace una tabla de sucesivas raíces cuadradas de los diez, mediante el cálculo de $10^s$$s = 1, \frac1{2}, \frac1{4}, \frac1{8}, \cdots , \frac1{1024}$. Él dice que esto es suficiente para calcular logaritmos, porque si ya hemos calculado $10^s$ y queremos que su logaritmo, simplemente es $s$.
Se da cuenta de que a medida que hacemos de las raíces cuadradas del número de acercarnos más y más a $1$, hay un patrón: $\sqrt{1+\delta}$ es de aproximadamente $1+\delta/2$, por lo que, para los números que ya están cerca de $1$ (como $10^{1/1024}$, que es el último de la raíz cuadrada se calcula) en lugar de mantener en hacer raíces cuadradas podemos "adivinar" en el resultado con una buena precisión.
Ahora, aquí está la parte que no entiendo: después de Haber calculado $10^{1/1024}$ aproximadamente $1.0022511$, dice lo siguiente:
[...] es evidente que, para una excelente aproximación, si tomamos otra raíz, vamos a tener 1.00112 algo, y en lugar de realmente tomar todas las raíces cuadradas, se adivina en el último límite. Cuando tomamos una pequeña fracción de $\Delta$ $1024$ $\Delta$ se aproxima a cero, ¿cuál será la respuesta? Por supuesto que será un número cercano a $0.0022511 \Delta$. No exactamente $0.0022511 \Delta$, sin embargo, podemos obtener un mejor valor por el siguiente truco: se restan los $1$, y luego divida por el poder $s$. Este debe corregir todos los excesos en el mismo valor.
Luego agrega otra columna: para cada una de las $s$, además de a $10^s$ no $\frac{10^s-1}{s}$, y parece que esto converge a algo como $s$ se hace más pequeño. Reconozco que esta como una de las fórmulas usuales para el logaritmo, pero no sigo por qué él introdujo. Más tarde se utiliza para hacer una aproximación de la fórmula: $10^\Delta \approx 1+\Delta \ln 10$. Yo lo entiendo, pero no entiendo de dónde sacó esa. Podría alguien aclarar esto?
Yo no estaba seguro acerca de esta pregunta porque pensé que podría ser difícil de entender si nunca has leído este capítulo. Si este es el caso, hágamelo saber y voy a tratar de editar un poco.
