En la categoría de anillos conmutativos, este pushout diagrama significa que $D = C \otimes_A B$, y te preguntes: Si $A \to B$ es monic (que es el caso si el subyacente mapa es inyectiva), es la misma verdad para la cobase cambio $C \to C \otimes_A B$ asignación de $c \mapsto c \otimes 1$? Bueno, esto es cierto cuando se $A \to C$ es plana, pero en general su terriblemente falso: Si $C=A/I$ por algún ideal $I \subseteq A$, entonces este es el caso de la fib $IB \cap A = I$. Y esto es bastante raro. Tomemos, por ejemplo $A=\mathbb{Z}$, $B=\mathbb{Q}$, y $I$ no trivial ideal.
No sé si hay alguna razonable y no trivial de hipótesis sobre una categoría que hace la declaración de la verdad. En la categoría de conjuntos de la afirmación es verdadera (y probablemente también en todos los topos). Por lo tanto, también es cierto que en muchas otras categorías concretas cuya olvidadizo functor conserva pushouts y monics, por ejemplo, la categoría de espacios topológicos. De hecho, esta propiedad aparece en el reino de Waldhausen categorías. Hay que exigir que la clase de cofibrations es estable bajo cobase cambio. A menudo uno se imagina estos cofibrations como "agradable" monomorphisms.
La declaración también es cierto en todos los dual de una expresión algebraica de la categoría con la propiedad de que epis coinciden con surjective homomorphisms, desde surjective homomorphisms son estables en virtud del cambio de base: Si $B \to A$ es surjective, a continuación, para cada mapa de $C \to A$ es claro que también se $C \times_A B \to C$ es surjective. Es cierto en el doble de la categoría de anillos conmutativos (epimorphisms de los anillos es bastante complicado, ver aquí), es decir, la categoría de afín esquemas?
