¿Cómo funciona la Torsión de dos campos vectoriales actuar en sus correspondientes flujos?

Question

Deje $X$ $Y$ campos vectoriales definidos sobre un abrir neighborhhod de un buen colector $M$ dotado de un (arbitrario) afín a la conexión $\nabla$ (no estoy suponiendo nada, aparte de ser una conexión en $TM$).

Estoy tratando de comprender la torsión $T(X,Y)=\nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]$ de la conexión en términos de flujos. He aquí lo que tengo hasta ahora:

Denota el local de los flujos de $X$ $Y$ $\varphi^X_t$ $\varphi^Y_t$ resp. y su colector por $\alpha(t)= \varphi^Y_{-t} \varphi^X_{-t}\varphi^Y_t\varphi^X_t$. Tenemos la siguiente relación entre la mentira y soporte de la $\alpha$:

$$[X,Y] = \frac{1}{2} \alpha ''(0)$$

Así que lo que me queda es encontrar una manera de expresar $\nabla_X Y - \nabla_Y X$ en términos de flujos. Evidentemente, debe haber algunas entradas de la conexión. Traté de calcular el flujo por exponentiating de la mentira de algebra de campos vectoriales, pero no llegué muy lejos...

Este problema me hizo darme cuenta de que no tengo idea de cómo curvas integrales y paralelos están relacionados. Una palabra acerca de cómo se relacionan unos con otros en todo caso, será muy útil.

Idealmente me gustaría tener una expresión para $\nabla_X Y - \nabla_Y X$ en términos de transporte paralelo y los flujos de $X$$Y$. Hay una charactrization?

Answer 1

De vuelta en Élie Cartan los papeles (pero no recuerdo específicamente que) no es una discusión de la torsión como la traslación de parte de la holonomy de una conexión afín, mientras que la curvatura es la rotación de la parte (en el caso de Riemann). Usted también debe leer esta discusión sobre mathoverflow.

Answer 2

Así que a partir de Samelson Mentira Soporte y la Curvatura, su demostrado que

$$ (\nabla_Xs)^v =[X^h,s^v]$$ where $ X \in \Gamma(TM)$ and $s \en \Gamma(E)$ and $\nabla$ is the covariant derivative on $E$. The $s^v$ es la extensión vertical y se define como a continuación

Como sabia el $X^h$ es la horizontal de la elevación del campo de vectores y se define como

Así $$ \nabla_XY-\nabla_YX = \pi([X^h,Y^v] - [Y^h,X^v]) $$

Donde $\pi$ es la proyección vertical.Por lo tanto

$$\nabla_XY - \nabla_YX = \pi(\frac12(\beta^{''}(0)-\gamma^{''}(0)))$$

Donde $$ \beta = \varphi_{-t}^{Y^v}\varphi_{-t}^{X^h}\varphi_{t}^{Y^v}\varphi_{t}^{X^h}$$ and $$ \gamma = \varphi_{-t}^{X^v}\varphi_{-t}^{Y^h}\varphi_{t}^{X^v}\varphi_{t}^{Y^h}$$

donde $\varphi_{t}^{Y^v} $,$ \varphi_{t}^{X^h} $,$ \varphi_{t}^{X^v}$ y $ \varphi_{t}^{Y^h} $ son los flujos de $ Y^v $, $X^h$, $X^v$ y $Y^h$ respectivamente.

No sé si esto tiene sentido, pero creo que por la búsqueda de una manera horizontal ascensor y verticalmente ampliar los flujos tendría una caracterización de la derivada covariante en términos de los flujos de $X$$Y$.