Resolver la ecuación funcional $f(x+1) - f(x-1) = g(x)$

Question

Dada una función $g(x)$ ¿es posible encontrar una función $f(x)$ que satisface

$$ f(x+1) - f(x-1) = g(x) $$

Answer 1

Elija cualquier opción de $f$ en el intervalo $[-1,1)$ . Utilizando la propiedad $f(x) = g(x-1) + f(x-2)$ se puede ampliar esta definición a $[1,3)$ y así hasta el resto de la línea real positiva. Del mismo modo, se puede extender $f$ a la línea real negativa utilizando $f(x) = f(x+2) - g(x+1)$ . Esta es una solución a su ecuación.

Por supuesto, una elección diferente de $f$ en $[-1,1)$ le dará un resultado diferente. Esto corresponde al hecho de que la adición de cualquier función periódica $h$ con el período 2 a $f$ sigue satisfaciendo la ecuación original. En otras palabras, hay infinitas soluciones.

Para determinadas clases restringidas de funciones, como alude Qiaochu, puede haber una única solución canónica. Por ejemplo, si $g$ es un polinomio de grado $n$ existe una solución polinómica única para $f$ . Se trata de un polinomio de grado $n+1$ y se puede encontrar expandiendo la ecuación original y comparando las potencias empezando por la más alta. Un hecho similar es válido para las exponenciales y las funciones trigonométricas (excepto, por supuesto, cuando las funciones trigonométricas tienen período 2, en cuyo caso habría que incluir los múltiplos de $x \sin \pi x$ y $x \cos \pi x$ en $f$ para obtener una solución).

Answer 2

Dejemos que $f(x)=\frac{1}{2}x g(0)$ para $-1\le x \le 1$ , $f(x)=g(x-1) + f(x-2)$ para $x>1$ y $f(x)=f(x+2)-g(x+1)$ para $x<-1$ .

Answer 3

Podría haber algo que ganar interpretando $g(x)$ como una aproximación a la derivada de $f(x)$ (salvo un factor de 2). En realidad no es la derivada, sino la diferencia finita centrada.

Answer 4

No sé si este procedimiento es correcto o no:

$f(x+1)-f(x-1)=g(x)$

$x\to x+1$ :

$f(x+2)-f(x)=g(x+1)$

$x\to2x$ :

$f(2x+2)-f(2x)=g(2x+1)$

$f(2(x+1))-f(2x)=g(2x+1)$

$f(2x)=\sum_x g(2x+1)+\Theta_1(x)$ , donde $\Theta_1(x)$ es una función periódica arbitraria con período unitario

$f(x)=h\left(\dfrac{x}{2}\right)+\Theta(x)$ , donde $h(x)=\sum_x g(2x+1)$ y $\Theta(x)$ es una función periódica arbitraria con período $2$

Si $\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$ según http://en.wikipedia.org/wiki/Indefinite_sum#Mueller.27s_formula el resultado puede simplificarse aún más y ser $f(x)=\sum_{n=0}^\infty(g(2n+1)-g(x+2n+1))+\Theta(x)$ , donde $\Theta(x)$ es una función periódica arbitraria con período $2$ , $\sum_{n=0}^\infty(g(2n+1)-g(x+2n+1))$ es decir, la kernelización de $\sum_{n=0}^{\frac{x}{2}-1}g(2n+1)$