¿Cómo podemos saber si hay alguna mejor de los límites de la Minkowski bound?

Question

Esta pregunta puede ser una replica exacta de algunos de los primeros pregunta en otros lugares.

Quiero saber si hay mejores límites de la Minkowski obligado por la norma de la más pequeña ideal en un ideal de clase de un campo de número, que es eficaz cuando se $n$ es pequeña, pero no parece muy fuerte al $n$ es grande. Me di cuenta de la parte crucial de Minkowski seguramente viene de su teorema en el entramado de puntos en $\mathbb{R}^{n}$, dado que el teorema es agudo (ver wikipedia), no hay espacio para la mejora en esa dirección. Mis amigos me dijeron que no hay Bach obligado que asume, no obstante, GRH, y parece que no es tan eficaz cuando se $n$ es pequeña.

Así que quiero saber si hay algún método en particular que podría haber ayudado a limitar el número de la clase de arriba y de abajo en la estadística de los términos (de modo que para$\mathcal{A}\cap \mathbb{Q}[\sqrt{n}]$$n>m$, la probabilidad de que el número de clase de la número de campo a menos de $f(m)$ es de alrededor de $g(m)$, etc).

Hice lo han hecho alguna búsqueda de la documentación pertinente en el pasado. Lo pregunto porque tengo la esperanza de que alguien pueda ayudar a explicar el estado actual de la investigación en los términos del laico.

Answer 1

Hay mucho que decir acerca de la generalización de Minkowski es el resultado. Por ejemplo, en mi línea de trabajo es más productivo pensar de Minkowski del resultado como un límite inferior en el discriminante como una función de la titulación, en lugar de un límite superior en las normas de una mínima generación de un conjunto de ideales. A partir de este discriminante obligado perspectiva, hay algunas notables mejoras sustanciales procedentes de la analítica lado, que van por el nombre de "Odlyzko límites," que vale la pena buscar en google, aunque tal vez no directamente aplicables a su pregunta de seguimiento.

Más relevantes en términos de su pregunta de seguimiento, sin embargo, son probablemente los llamados Cohen-Lenstra heurística. No tengo referencias en frente de mí para dar fórmulas exactas, pero la idea básica es que dan un heurístico para la probabilidad de que cualquier prime $p$ se divide en un número de clase de una ecuación cuadrática de campo, y, más en general, que una prescrito p-rango de la clase de grupo que se logra. La probabilidad de que un campo de número de cuenta número de la clase 1 es ahora sólo la probabilidad de que no prime divide el número de la clase. Su predicción de acuerdo a estas heurísticas está muy cerca de 75%, lo que concuerda estrechamente con los resultados numéricos (hay algunas anomalías con $p=3$ proveniente de pequeño $n$, lo cual me hace pensar que su "de $n>m$" cláusula de la realidad puede mejorar la precisión). Tomando combinaciones de sus calcula las probabilidades, y hacer de la asunción universal de que, por ejemplo, el 3-rango 5 rango de la clase de grupo son variables independientes, que, en principio, podría escribir bastante explícitamente las fórmulas que deseo, es decir, la probabilidad de que un verdadero cuadrática campo tiene número de clase en la mayoría de un determinado $h$.