Hallazgo positivo de soluciones integrales de $3^a=b^2+2$

Question

Estoy tratando de encontrar soluciones integrales de la ecuación de $3^a=b^2+2$. Yo podría conseguir que $a$ $b$ tiene que ser impar. Pero no he podido obtener ninguna más. Yo creo que el $(a,b)=(1,1);(3,5)$ son las únicas soluciones, pero soy incapaz de demostrar que. Si alguno tiene alguna sugerencias, sería genial. Gracias

Answer 1

El cuadrática campo $\mathbb Q(\sqrt {-2})$ vamos a usar más adelante en la solución de esta pregunta, es un muy buen campo: su anillo de enteros es $\mathbb Z[\sqrt {-2}]$ (debido a $-2\equiv 2 (mod\space 4)) $; sus unidades sólo se $\pm1$ (debido a $-2<0$ y distinta de $-1$$-3$); es un único registrado factorización de dominio y, más en un dominio Euclídeo con Euclidiana función definida por $|N(x)|$ donde N es la norma . Por otro lado $-2$ es claramente un residuo cuadrático módulo 3 (debido a $-2=1$$\mathbb F_3$) por lo que, según la teoría, los 3 se descompone en dos primos $p_1p_2$ en el ring $\mathbb Z[\sqrt {-2}]$. Tenemos en el hecho de $3=(1+\sqrt{-2})(1-\sqrt {-2})$, por lo que tenemos $$3^a=b^2+2\iff 3^a=(1+\sqrt{-2})^a(1-\sqrt {-2})^a=(b+\sqrt{-2})(b-\sqrt{-2})$$ Supongamos $x+y\sqrt{-2}$ es un factor común de $(b+\sqrt{-2})$ $(b-\sqrt{-2})$ a continuación, divide su diferencia $2\sqrt{-2}$ a continuación, tomando normas en el dominio Euclídeo $\mathbb Z[\sqrt {-2}]$, uno ha $x^2+2y^2$ divide $8$; por lo tanto $x^2+2y^2=1,2,4,8$ que respectivamente se da $(x,y)=(1,0),(0,1),(2,0),(0,2)$.

Ninguno de estos dar la debida factores ni de $(b+\sqrt{-2})$ ni $(b-\sqrt{-2})$ por lo tanto $(b+\sqrt{-2})$ $(b-\sqrt{-2})$ son coprime.

Así, por única factorización de uno ha $(1+\sqrt{-2})^a = b\pm\sqrt{-2}$ a partir de la cual $A_a+B_a\sqrt{-2}= b\pm\sqrt{-2} \Rightarrow B_a=\pm1$

Ahora el cálculo de $B_a$ $a\ge1$ obtenemos los únicos valores del exponente $a$ para los que tenemos $B_a=\pm1$$1$$3$; de hecho,

$a=1$ da $(1+\sqrt{-2})=b+\sqrt{-2}$ por lo tanto la solución obvia $\boxed{(a,b)=(1,1)}$

$a=3$ da $(1+\sqrt{-2})^3=1+3\sqrt{-2}+3(\sqrt{-2})^2+(\sqrt{-2})^3=-5+\sqrt{-2}$ por lo tanto la solución de $\boxed{(a,b)=(3,5)}$ deducido de $3^3=27=b^2+2$.

El resto de los valores de $a$ son tales que $|B_a|\gt1$ como se puede ver tomando el extraño poderes en

$(1+\alpha)^a= 1+a\alpha+\binom a2\alpha^2+\cdot\cdot \cdot +\binom ak\alpha^k + \cdot \cdot\cdot +a{\alpha}^{a-1}+ {\alpha}^{a}+ $ $\alpha=\sqrt{-2}$ por lo que uno tiene

$$B_a= a+\binom a3(-2)+\binom a5(-2)^2+\cdot\cdot $$ in which it is verified $|B_a|\gt1$ when $a\neq 1,3 dólares. Finalmente, las únicas soluciones son las dos de arriba en caja.

Answer 2

Tres casos:

• $a=3k$. A continuación,$\left(3^k\right)^3=b^2+2$. Pero $x^3=y^2+2$ $2$ soluciones integrales $(x,y)=(3,\pm 5)$ (ver aquí, en la página de $7$).

• $a=3k+1$. A continuación,$\left(3^{k+1}\right)^3=(3b)^2+18$. Pero $x^3=y^2+18$ $2$ soluciones integrales (http://oeis.org/A081120en particular http://oeis.org/A081120/b081120.txt) $(x,y)=(3,\pm 3)$, lo $(k,b)=(0,\pm 1)$, lo $(a,b)=(1,\pm 1)$.

• $a=3k+2$. A continuación,$\left(3^{k+2}\right)^3=(9b)^2+162$, no hay soluciones (http://oeis.org/A081120/b081120.txt).