Deje $X$ ser un esquema proyectivo sobre $\mathbb{C}$ $\mathcal{F}$ localmente libre de gavilla en $X$ de la fila $2$. Tomar un punto de $p$ en el apoyo de $\mathcal{F}$. Supongamos que existe al menos $3$ linealmente independientes global secciones ninguno de los cuales desaparecen en este punto $p$. Entonces es cierto que el natural de morfismos de $H^0(\mathcal{F})$ al tallo $H^0(\mathcal{F}_p)$ es surjective? Si no, ¿hay algún límite en el número de linealmente independientes global secciones como por encima de lo que garantizará una respuesta positiva?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No creo que esto es cierto. Ya que la pregunta es local, podemos suponer que $X = \operatorname{Spec}(A)$ es afín y $\mathcal F$ es gratis en la $X$. Por lo tanto, $\mathcal F = \mathcal O_X\oplus\mathcal O_X$, el global de las secciones de restringir a $H^0(X, \mathcal F) = A\oplus A$, e $\mathcal F_p = A_p\oplus A_p$. El natural de mapa de factores a través de $A\oplus A\to A_p\oplus A_p$, que es cierto que no siempre surjective.
Por ejemplo, si empezamos con $X = \mathbb P^1$$\mathcal F = \mathcal O(1)\oplus\mathcal O(1)$, entonces el soporte es de $\mathbb P^1$ y no son linealmente independientes global secciones $(x,0),(y,0),(0,x),(0,y)$ donde $x,y$ son las coordenadas. Pero en una afín gráfico con coordinar $u$, establecimiento $p = 0$, terminamos con el mapa de $k[u]\oplus k[u]\to k[u]_{(u)}\oplus k[u]_{(u)}$ que no está surjective.
Tenga en cuenta que por jugar a este juego con mayores giros en $\mathbb P^1$, podemos obtener cualquier número de linealmente independientes global secciones, pero la imagen se mantendrá sin cambios.
