¿Por qué son los valores propios de una linealizado RG transformación real?

Question

El RG de transformación de $R_\ell$ asigna un conjunto de constantes de acoplamiento $[K]$ de un modelo de Hamilton a un nuevo conjunto de constantes de acoplamiento $[K']=R_\ell[K]$ de un modelo de grano grueso, donde la escala de longitud es modificado por un factor de $\ell>1$.

En la vecindad de un punto fijo $[K^*]$, es decir, en $K_n=K_n^*+\delta K_n$, uno linearizes la RG transformación, $$K_n' = K_n^*+\delta K_n' = K_n^*+\sum_m\underbrace{\left.\frac{\partial K_n'}{\partial K_m'}\right|_{[K]=[K^*]}}_{M_{nm}^{(\ell)}}\delta K_m+\mathcal{O}(\delta K^2),$$ y los beneficios relacionados con la (derecha) los autovalores de la matriz $M^{(\ell)}$ a los exponentes críticos.

Mi pregunta es la siguiente: la matriz $M^{(\ell)}$ es real, pero podría no ser simétrica. Por tanto, se ha de distinguir la izquierda y a la derecha los vectores propios y los valores propios no están garantizados para ser real, si es que existen. Sin embargo, en la literatura se dice en este punto que, no obstante, $M^{(\ell)}$ genéricamente se encuentra para ser diagonalizable con el real de los autovalores. Hay algunos (matemática) la racionalización de esta declaración?

Answer 1

Esta es una buena pregunta. Sólo puedo responder que la mitad de ella: Los autovalores de a $M^{l}$ algunas veces compleja.

Echa un vistazo a la RG flujo de la gravedad de Einstein cerca de sus UV punto fijo. Los dos acoplamientos relevantes (newton constante y constante cosmológica) espiral alrededor del punto fijo a medida que se alejan de ella. La parte real de los exponentes críticos de cuentas para el flujo de distancia desde el punto fijo y su parte imaginaria hace oscilar como el punto de corte de la escala se reduce.

Algo similar sucede en el RG de flujo de tres cuerpo bosonic sistemas: el Efimov efecto. Enlazados a los estados de tres (bosonic) las partículas tienen una infinita escalera de la envolvente de los estados con energías de enlace que crecer de manera exponencial, con una relación fija,

$$ E_n = \text{const.} \times E_{n-1} \to E_n = \text{const.}^n$$

Este es el resultado de un ciclo límite de la RG flujo. El sistema no se encuentra en un punto fijo (y por lo tanto no es invariante bajo transformaciones de escala), pero los parámetros de ciclo a través de un conjunto cerrado de valles como el cut-off se cambia la escala. Nos encontramos con un sistema que es invariante bajo RG transformaciones con un número finito de escala solamente. Si el flujo suficiente para ir todo el ciclo de una vez, se puede encontrar la misma constantes de acoplamiento. El período del ciclo medido en cut-off es la escala relativa a la $\text{const.}$. Nos encontramos con una discreta escala de invariancia como un simple fractal.

Por desgracia no puedo explicar por qué $M^{l}$ puede ser diagonalised en el primer lugar. Sólo puedo suponer que hay situaciones en las que este no es el caso y el RG de flujo debe ser re-interpretados. Me gustaría mucho disfrutar de leer acerca de un ejemplo de tal situación.