Yo recomendaría que usted podría mirar en hyper-operaciones. Ellos son muy interesantes y relacionados. Para una referencia rápida, una hiper-operación de n es una repetición de ellos {n-1}th hyper-operación.$$5*4=5+5+5+5$$Aquí, la multiplicación se convirtió en una repetición de la adición. Del mismo modo, la exponenciación es una repetición de la multiplicación. Y así sucesivamente...
Pero lo que es más importante, todo esto puede ser representado en términos de funciones elementales. Si es de adición, multiplicación, o exponenciación.
Además, los inversos de cada individuo hyper-la operación se considera primaria. Los opuestos de adición, multiplicación y exponenciación se resta, división y logaritmos o raíces, respectivamente.
Sin embargo, una combinación de diferentes niveles de hyper-operaciones (a excepción de la adición) no puede ser invertida. Por ejemplo:$$f(x)=xe^x$$$$f^{-1}=?$$For this example, we assign the Lambert W function as the solution.$$f^{-1}=W(x)$$Pero el problema es que no podemos convertir esto en algo que involucran sólo la suma, la multiplicación, la exponenciación, y sus inversos (o superior hyper-operaciones como tetrations y tal).
Más específicamente, no podemos convertir esto en un $finite$ cantidad de términos que se suman o se multiplican y tal.
Para responder a tu primera pregunta, y la prueba es simplemente que la definición de la función W de Lambert no puede ser resuelto con funciones elementales.
Por qué, es porque, como lo que puedo explicar, dos de hyper-operaciones de multiplicación y exponenciación, fueron combinados. En general, la combinación de diferentes hyper-los resultados de las operaciones en irresoluble inversos (o una manipulación de la función W de Lambert). Trate de problemas (sin la función W de Lambert): $$f(x)=x^a+bx$$$$f^{-1}(x)=?$$Now try solving it with $a=3,2,1,0$. Much easier? To solve for any known $$ is easy, but solving for all $$s'es más difícil.
La razón por la que fueron capaces de resolver para los valores anteriores de $a$ eran lo más probable debido a la factorización. Sin embargo, usted no puede factor con exponentes como usted puede con polinomios. Imagina la siguiente:$$a^{(ax)^{(ax^2)^{..^{..^{..}}}}}$$Compare it to$$a+ax+ax^2+...$$$$y$$$$a*ax*ax^2*ax^3*...$$Los dos últimos son simplifiable, pero la exponencial no estaba. Esto es por qué dejamos de ser capaz de encontrar los inversos de las funciones cuando son exponenciales, tetrational, o superior.
