Vector de definición del Espacio de

Question

Mi libro de las listas de los diez axiomas que debe poseer un conjunto de objetos (vectores) $V$ llamada a ser un espacio vectorial. Uno de los axiomas es:

$$1\vec{u} = \vec{u}$$

Hay una razón por la que este axioma debe estar en la lista? ¿Cuál es su propósito, porque parece obvio? Hay un caso de un escalar real, 1, multiplicado por un vector no devuelve el mismo vector?

Answer 1

Deje $V$ ser el grupo abelian $F^n$ donde $F$ Es un campo. Definir $av:=0$ por cada $a\in F, v\in V$.

Puedes demostrar que todo el espacio vectorial axiomas de bodega, con excepción de la que tú hablas.

La razón principal por la que desea 1 a actuar como la identidad es lo que se puede identificar a $F$ como un sub-anillo del anillo de transformaciones lineales de $V$, comparten una misma identidad.

Answer 2

Sí, este axioma es necesario.

Dado cualquier vector del espacio de $(\mathbb{V}, +, \,\cdot\,)$ sobre un campo $\mathbb{F}$, podemos producir otra estructura algebraica $(\mathbb{V}, +, \odot)$ con "multiplicación" del mapa $$\odot: \mathbb{F} \times \mathbb{V} \to \mathbb{V}$$ el cero mapa $$f \odot \mathbf{u} := \mathbf{0}.$$ A continuación, $(\mathbb{V}, +, \odot)$ cumple con todos los espacio vectorial axiomas excepto $$1 \odot \mathbf{u} = \mathbf{u}.$$

Answer 3

En general, el espacio vectorial $V$ puede ser a través de un campo arbitrario $F$. Y podemos definir un producto escalar entre el elemento de $V$ y el elemento de $F$.

$1\vec{u} = \vec{u}$ significa que la identidad multiplicativa en el campo es también la identidad de esta multiplicación escalar.