¿Existe una manera elegante de resolver $\int \frac{(\sin^2(x)\cdot \cos(x))}{\sin(x)+\cos(x)}dx$?

Question

La integral es:

$$\int \frac{(\sin^2(x)\cdot \cos(x))}{\sin(x)+\cos(x)}dx$$

Usé la sustitución de Weierstraß

$$t:=\tan(\frac{x}{2})$$

$$\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$$ $$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$ $$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$$

Obtuve esto:

$$\int \frac{8t^4-8t^2}{t^82t^7+2t^66t^56t^32t^22t1}dt$$

y con la expansión de fracciones parciales la respuesta final es:

$$\frac{1}{4}[\ln(\sin(x)+\cos(x))-\cos(x)*(\sin(x)+\cos(x))]+C$$

Es un proceso largo y estoy muy convencido, es posible que haya un camino más corto, ¿quizás conoces uno? Gracias

Answer 1

Si multiplicamos numerador y denominador por $\cos x - \sin x$, el numerador se puede reescribir como $$ \sin x \cos x(\sin x \cos x - \sin^2x) $$ Ahora usamos $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ y $$ \sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ entonces finalmente obtenemos $$ \frac{1}{4}\sin 2x(\sin 2x - 1 + \cos 2x)= \frac{1}{4}(1 - \cos^2 2x - \sin 2x + \sin 2x \cos 2x) $$ y la integral se convierte en $$ \frac{1}{4}\int\left( \frac{1}{\cos 2x}-\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-\cos 2x+\sin 2x \right)\,dx $$ que debería representar poco problemas.

Answer 2

\begin{align} \int\frac{\sin^2 x\cos x}{\sin x+\cos x}\,\mathrm dx &= \int\frac{\sin^2 x\sin\left(\frac\pi2-x\right)}{\sin x+\sin\left(\frac\pi2-x\right)}\,\mathrm dx \\ &= \int\frac{\sin^2\left(\frac\pi4+u\right)\sin\left(\frac\pi4-u\right)}{\sin \left(\frac\pi4+u\right)+\sin\left(\frac\pi4-u\right)}\,\mathrm d\left(\frac\pi4+u\right) \\ &= \int\frac{\left(\sin\frac\pi4\cos u+\cos\frac\pi4\sin u\right)^2\left(\sin\frac\pi4\cos u-\cos\frac\pi4\sin u\right)}{\left(\sin\frac\pi4\cos u+\cos\frac\pi4\sin u\right)+\left(\sin\frac\pi4\cos u-\cos\frac\pi4\sin u\right)}\,\mathrm d\left(\frac\pi4+u\right) \\ &= \frac14\int\frac{\left(\cos u+\sin u\right)^2\left(\cos u-\sin u\right)}{\cos u}\,\mathrm d\left(\frac\pi4+u\right) \\ &= \frac14\int\frac{\left(\cos u+\sin u\right)\left(\cos^2 u-\sin^2 u\right)}{\cos u}\,\mathrm d\left(\frac\pi4+u\right) \\ &= \frac14\int\left(\cos2u+\sin2u-\tan u\right)\,\mathrm d\left(\frac\pi4+u\right) \\ &= \frac14\left(\frac12\sin\left(2x-\frac\pi2\right)-\frac12\cos\left(2x-\frac\pi2\right)+\log\cos\left(x-\frac\pi4\right)\right)+\textsf{const.} \\ &= \frac14\left(\log\cos\left(x-\frac\pi4\right)-\frac12\left(\sin2x+\cos2x\right)\right)+\textsf{const.} \\ &= \frac14\left(\log\cos\left(x-\frac\pi4\right)-\frac1{\sqrt2}\cos\left(2x-\frac\pi4\right)\right)+\textsf{const.} \end{align}

Answer 3

$\sin(x)+\cos(x)=\sqrt2\cos\left(x-\frac\pi4\right)$. Permita que $u=x-\frac\pi4$, luego $$ \begin{align} \frac{\sin^2(x)\cos(x)}{\sin(x)+\cos(x)} &=\frac{(\cos(u)+\sin(u))^2}2\frac{\cos(u)-\sin(u)}{\sqrt2}\frac1{\sqrt2\cos(u)}\\ &=\frac{\cos(u)-\sin(u)+2\sin(u)\cos^2(u)-2\sin^2(u)\cos(u)}{4\cos(u)}\\ &=\frac14\left(1-\frac{\sin(u)}{\cos(u)}+2\sin(u)\cos(u)-2\sin^2(u)\right)\\ &=\frac14\left(\sin(2u)+\cos(2u)-\frac{\sin(u)}{\cos(u)}\right) \end{align} $$ Al integrar obtenemos $$ \begin{align} \int\frac{\sin^2(x)\cos(x)}{\sin(x)+\cos(x)}\mathrm{d}x+C &=-\frac18\cos(2u)+\frac18\sin(2u)+\frac14\log(\cos(u))+C\\ &=-\frac18\cos\left(2x-\frac\pi2\right)+\frac18\sin\left(2x-\frac\pi2\right)+\frac14\log\left(\cos\left(x-\frac\pi4\right)\right)+C\\ &=-\frac18\sin(2x)-\frac18\cos(2x)+\frac14\log(\cos(x)+\sin(x))+C-\frac{\log(2)}8 \end{align} $$