Cálculo de una serie.

Question

NOTACIONES.

Deje $n\in\mathbb{N}$. Definimos los conjuntos de $\mathfrak{M}_{0}:=\emptyset$ y $$\begin{align} \mathfrak{M}_{n}&:=\left\{m=\left(m_{1},m_{2},\ldots,m_{n}\right)\in\mathbb{N}^{n}\mid1m_{1}+2m_{2}+\ldots+nm_{n}=n\right\}&\forall n\geq1 \end{align}$$ y hacemos uso de las notaciones: $$\begin{align} m!&:=m_{1}!m_{2}!\ldots m_{n}!,&|m|&:=m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}. \end{align}$$

PREGUNTA.

Quiero evaluar o simplemente enlazada con respecto a $n$ la serie $$\begin{align} S_{n}&:=\sum_{m\in\mathfrak{M}_{n}}\frac{\left(n+\left|m\right|\right)!}{m!}\ \prod_{k=1}^{n}\left(k+1\right)^{-m_{k}}. \end{align}$$ Mi esperanza es que $S_{n}\leq n!n^{\alpha}$ $\alpha$ independiente de $n$.

De FONDO.

Con el fin de construir una analítica de la extensión de una determinada real de la analítica de la función, he tenido que utilizar el Faà di Bruno con la fórmula de una composición (véase, por ejemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Faà_di_Bruno%27s_formula). Después de algunos cálculos elementales, mi problema se reduce a demostrar la convergencia de $$\begin{align} \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\sum_{m\in\mathfrak{M}_{n}}\frac{\left(n+\left|m\right|\right)!}{m!}\ \prod_{k=1}^{n}\left(k+1\right)^{-m_{k}} \end{align}$$ donde $x\in\mathbb{C}$ es tal que el módulo complejo $|x|$ puede ser tomado tan pequeño como se desee (en particular, podemos optar $|x|<\mathrm{e}^{-1}$ a matar a cualquier $n^{\alpha}$ plazo desde el límite en $S_{n}$).

ALGUNOS TRABAJOS.

Está claro que tenemos que entender los conjuntos de $\mathfrak{M}_{n}$ para pasar de ahí la etiqueta de "combinatoria"). Así que traté de ver lo que fueron estos conjuntos:

• para $n=2$ : $$\begin{array}{cc} 2&0\\ 0&1 \end{array}$$
• para $n=3$ : $$\begin{array}{ccc} 3&0&0\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{array}$$
• para $n=4$ : $$\begin{array}{cccc} 4&0&0&0\\ 2&1&0&0\\ 1&0&1&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&0&1\\ \end{array}$$
• para $n=5$ : $$\begin{array}{ccccc} 5&0&0&0&0\\ 3&1&0&0&0\\ 2&0&1&0&0\\ 1&0&0&1&0\\ 1&2&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&1&1&0&0\\ \end{array}$$

Anteriormente, cada línea corresponde a un multiindex $m$, y el $k$-ésima columna es el coeficiente de $m_{k}$. Vemos, por ejemplo, que el cardenal de $\mathfrak{M}_{n}$ se convierte estrictamente mayor que $n$ si $n\geq5$. También, porque quería reordenar el conjunto de la suma de $S_{n}$ en el conjunto de todos los multiindices $m$ tal que $|m|=j$$1\leq j\leq n$, he tratado de contar determinado $j$ el número de $m$ tal que $|m|=j$; al $n=10$, me contó $8$ multiindices $m$ con una longitud de $|m|=4$, así que este número puede ser mayor que $n/2$. Otra observación es que el número de multiindices $m$ tal que $|m|=j$ se hace más grande si $j$ es "acerca de" $n/2$ - no me pidas lo que "sobre" significa aquí, yo sólo he probado el ejemplo y visto en este fenómeno.

Answer 1

En primer lugar, vamos a transformar $S_n$ a una forma más fácil de manipular.

Deje $C \subset \mathbb{C}$ ser un círculo de radio $r \ll 1$ centrada en $0$. Para cualquier $n \in \mathbb{N}$, $m \in \mathbb{N}^n$, podemos único de los $m \in \mathfrak{M}_n$ with help of contour integrals of the form:

$$\delta_n(m) \stackrel{def}{=} \frac{1}{2\pi i} \oint_{C} s^{\sum_{k=1}^n k m_k} \frac{ds}{s^{n+1}} = \begin{cases}1, & m \in \mathfrak{M}_n\\ 0, & \text{ otherwise }\end{cases}$$ Junto con la siguiente representación integral de factorial:

$$n! = \Gamma(n+1) = \int_0^\infty t^n e^{-t}dt$$ Tenemos

$$\begin{align} S_n &= \sum_{m \in \mathbb{N}^n} \delta_n(m) \int_0^\infty \prod_{k=1}^n \frac{1}{m_k!} \left(\frac{t}{k+1}\right)^{m_k} t^n e^{-t} dt\\ &= \frac{1}{2\pi i}\sum_{m \in \mathbb{N}^n} \oint_C \left[\int_0^\infty \prod_{k=1}^n \frac{1}{m_k!} \left(\frac{ts^k}{k+1}\right)^{m_k} \left(\frac{t}{s}\right)^ne^{-t} dt \right] \frac{ds}{s}\\ &= \frac{1}{2\pi i}\oint_C \left[\int_0^\infty \prod_{k=1}^n \left(\sum_{m_k=0}^\infty \frac{1}{m_k!} \left(\frac{ts^k}{k+1}\right)^{m_k}\right) \left(\frac{t}{s}\right)^ne^{-t} dt \right] \frac{ds}{s}\\ &= \frac{1}{2\pi i}\oint_C \left[\int_0^\infty \prod_{k=1}^n \exp\left(\frac{ts^k}{k+1}\right) \left(\frac{t}{s}\right)^ne^{-t} dt \right] \frac{ds}{s}\\ &= \frac{1}{2\pi i}\oint_C \left[\int_0^\infty \exp\left(\sum_{k=1}^n\frac{ts^k}{k+1}\right) \left(\frac{t}{s}\right)^ne^{-t} dt \right] \frac{ds}{s}\\ &\stackrel{\color{blue}{[1]}}{=} \frac{1}{2\pi i}\oint_C \left[\int_0^\infty \exp\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{ts^k}{k+1}\right) \left(\frac{t}{s}\right)^ne^{-t} dt \right] \frac{ds}{s}\\ &= \frac{1}{2\pi i}\oint_C \left[\int_0^\infty \exp\left[-t\left(\frac{\log(1 - s)}{s} + 2\right)\right]\left(\frac{t}{s}\right)^n dt \right] \frac{ds}{s}\tag{*1}\\ \end{align}$$ A continuación, vamos a

• $S(x) \stackrel{def}{=} \sum_{n=0}^\infty S_n \frac{x^n}{n!}$ ser el EGF (exponencial de generación de función) por $S_n$.
• $\Delta(x) = \sum_{n=0}^\infty S_n \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ ser la serie queremos estudiar su convergencia.

Ellos están relacionados por la relación $\Delta(x) = \int_0^x S(t) dt$.
Para cualquier $x$ con $|x| \ll r$, $(*1)$ implica

$$\begin{align} S(x) &= \frac{1}{2\pi i}\oint_C \left[\int_0^\infty \exp\left[-t\left(\frac{\log(1 - s)}{s} + 2 - \frac{x}{s}\right)\right] dt \right] \frac{ds}{s}\\ &= \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{ds}{\log(1-s) + 2s - x} \end{align}$$ Cambio de variable a $y = -\log(1-s) \iff s = 1 - e^{-y}$. Al $r$ es pequeña, la imagen de $C$ $y$el espacio de cerca de circle $C$. Podemos deformar el contorno de la espalda a $C$ sin cambiar la integral. Esto lleva a

$$S(x) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{dy}{P(x,y)} \quad\text{ donde }\quad P(x,y) = (2-x-y)e^y - 2$$ Bajo la condición de $|x| < |y| = r \ll 1$, tenemos

$$P(x,y) \approx (2 - x - y) (1 + y + O(r^2)) - 2 \approx y - x + O(r^2)$$

This means for fixed $x$ and as a function in $s$, $P(x,y)$ ha solo una raíz dentro de $C$. Además, la raíz en $y$ está cerca de a $x$. Deje $\eta$ ser que la raíz, tenemos

$$\begin{align} P(x,\eta) = 0 &\iff (2-x-\eta)e^\eta - 2 = 0 \iff (\eta + x - 2)e^{\eta + x - 2} = -2e^{x-2}\\ & \implies 2 - x - \eta = -W(-2e^{x-2}) \end{align}$$ donde $W(z)$ es una rama de la de Lambert-W función. En términos de $\eta$, tenemos

$$\begin{align} S(x) &= \text{Res}_{y=\eta}\left(\frac{1}{P(x,y)}\right) = \left.\frac{1}{\frac{\partial}{\partial y}P(x,y)}\right|_{y=\eta} = \frac{1}{(1 - x - \eta)e^\eta}\\ &= \frac{2-x-\eta}{2(1-x-\eta)} = \frac{W(-2e^{x-2})}{2(1+W(-2e^{x-2}))} \end{align}$$

Since $S(0) = 1$, we need to choose a branch of Lambert W function with $W(-2e^{-2}) = -2$. La rama correcta es la "rama inferior", describió en el anterior enlace de la wiki. Generalmente se denota como $W_{-1}(\cdot)$. En términos de de éste, se encuentran

$$S(x) = \frac{W_{-1}(-2e^{x-2})}{2(1+W_{-1}(-2e^{x-2}))}$$

Aviso de las ramas de la función W de Lambert satisface la educación a distancia $$z\frac{d}{dz}W(z) = \frac{W(z)}{1+W(z)}\tag{*2}$$ Podemos integrar a $(*2)$, y deducir de una forma cerrada de expresión para $\Delta(x)$: $$\Delta(x) = \frac12 \int_0^x \left[ z\frac{dW_{-1}(z)}{dz} \right]_{z=-2e^{t-2}} dt = 1 + \frac12 W_{-1}(-2e^{x-2})\tag{*3}$$

$W_{-1}(z)$ has two branch cuts, one terminated at $z = -\frac1e$, the other at $z = 0$. The closest singularity of $\Delta(x)$ to origin is located at $x = 1 - \log(2)$. As a result, $r_0$, the radius of convergence of the power series expansion of $\Delta(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty S_n\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$, $r_0$ equals to $1 - \log(2)$. A corollary of this is$\color{blue}{{}^{[2]}}$

$$\frac{S_n}{(n+1)!} \sim o(\rho^n)\quad\text{ para cualquier }\; \rho > \frac{1}{1-\log(2)} \aprox 3.258891353270929$$

As a double check, we evaluate the power series expansion of $\Delta(x)$ mediante el comando siguiente: Series[1+1/2*LambertW[-1,-2*Exp[x-2]],{x,0,8}] en WA (wolfram alpha). WA devuelve

$$\begin{align} \Delta(x) = & x+\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{5\,{x}^{3}}{6}+\frac{41\,{x}^{4}}{24}+\frac{469\,{x}^{5}}{120}+\frac{6889\,{x}^{6}}{720}\\ & +\frac{24721\,{x}^{7}}{1008}+\frac{2620169\,{x}^{8}}{40320}+\frac{64074901\,{x}^{9}}{362880} + \cdots \end{align}$$ Se vuelve a traducir a $S_n$, esto es equivalente a

$$( S_0,S_1,\ldots ) = (1, 1, 5, 41, 469, 6889, 123605, 2620169, 64074901,\ldots )$$ Para $n \le 5$, he comprobado con la mano que efectivamente este es el valor correcto.

Un OEIS búsqueda de retorno de la secuencia OEIS A032188. Hasta el $n = 18$, he verificado la $S_n$ extracto de la expansión de la $(*3)$ coincide con los números en OEIS. Mira las referencias allí y ver si hay algo útil para sus propósitos.

Notas

• $\color{blue}{[1]}$ - Como una función de la $s$, $$\exp\left(\sum_{k=1}^n\frac{ts^k}{k+1}\right) \left(\frac{t}{s}\right)^n\frac{e^{-t}}{s} = \frac{1}{s^{n+1}} (s)\quad\text{ y }\quad \exp\left(\sum_{k=n+1}^\infty\frac{ts^k}{k+1}\right) = 1 + s^{n+1}B(s)$$ donde $A(s), B(s)$ son analíticos sobre el disco delimitada por $C$. Esto implica $$\exp\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{ts^k}{k+1}\right) \left(\frac{t}{s}\right)^n\frac{e^{-t}}{s} = \exp\left(\sum_{k=1}^n\frac{ts^k}{k+1}\right) \left(\frac{t}{s}\right)^n\frac{e^{-t}}{s} + A(s)B(s)$$ Cambiar el límite superior de la suma en el exponente de $n$ $\infty$ modifica el integrando por una función analítica sobre el disco delimitada por $C$. El valor de la integral de contorno sobre $C$ sigue siendo el mismo.

• $\color{blue}{[2]}$ - Un análisis más detallado sugiere para grandes $n$, $S_n$ tiene la siguiente aproximación: $$S_n \approx \frac{(2n)!}{\sqrt{8r_0}n!(4r_0)^n}\left( 1 - \frac{r_0}{6(2n-1)} + \cdots \right)\quad\text{ where }\quad r_0 = 1 - \log(2)$$ Para $n$ tan pequeño como $4$, esta fórmula da un error relativo por debajo de $10^{-4}$ (comprobado en contra de los números de OEIS). El líder del comportamiento de los coeficientes de $\Delta(x)$ debe ser: $$\frac{S_n}{(n+1)!} \sim O\left(\frac{r_0^{-n}}{\sqrt{8\pi r_0} n^{3/2}}\right)$$

Answer 2

Aquí es una solución de un problema relacionado, seguido por una recomendación para el problema original. Sería mucho más sencillo si su suma no tienen la $n$$(n+|m|)!\,$. En ese caso, podríamos mirar el relacionado con suma $$t_n=\sum_{m\in {\mathfrak{M} }_n}\frac{|m|!}{m!}\prod_{k=1}^n(k+1)^{-m_k}.$$ La suma de los $t$'s viene de un producto de exponenciales funciones de generación. Debido a que el factor de $(k+1)^{-m_k}$ $t_n$ y el plazo$k\,m_k$${\mathfrak{M} }_n$, debemos mirar la serie $$1+\frac{\left(\frac{x^k}{k+1}\right)^1}{1!} +\frac{\left(\frac{x^k}{k+1}\right)^2}{2!} +\frac{\left(\frac{x^k}{k+1}\right)^3}{3!} +\cdots=\exp\left(\frac{x^k}{k+1}\right).$$ A partir de la multiplicación de estos exponencial de las funciones de generación, obtenemos $$t_n=\left[\frac{x^n}{n!}\right]\prod_{k\ge1}\exp\left(\frac{x^k}{k+1}\right).$$ Este producto resulta de tener una buena forma cerrada: $$\begin{eqnarray*} % \nonumber to remove numbering (before each equation) \prod_{k\ge1}\exp\left(\frac{x^k}{k+1}\right) &=& \exp\left(\sum_{k\ge1}\frac{x^k}{k+1}\right) \\ &=& \exp\left(\frac1x\biggl(\log\bigl(\frac1{1-x}\bigr)-x\bigr)\right) \\ &=& (1-x)^{-x}/\mathrm{e} . \end{eqnarray*}$$ El más pequeño de la singularidad de $(1-x)^{-x}$ está a 1, por lo que una burda aproximación sería $$[x^n](1-x)^{-x}\approx1^n=1$$ y $$t_n=\left[\frac{x^n}{n!}\right](1-x)^{-x}/\mathrm{e}\approx n!/\mathrm{e}.$$ Ciertamente, un análisis más fino de la singularidad de $(1-x)^{-x}$ le dan una mejor aproximación y tal vez producir el poder $\alpha$ que usted está buscando.

Ahora, volviendo al problema original. Es siempre el caso de que $|m|\le n$, por lo que una rugosa atado en $s_n$ $$s_n\le(2n)!t_n\le(2n)!\, . Esta obligado es peor que la esperanza de que has expresado, pero tal vez lo suficientemente buena para su eventual fines o quizás de partida para análisis más fino.