El conjunto de todos los $p \in \mathbb{C}[x]$ que puede ser expresado mediante una única aparición de $x$.

Question

Deje $X$ denotar el menor subconjunto de $\mathbb{C}[x]$ sujeto a las siguientes restricciones.

1. $x \in X$.

2. $p \in X \rightarrow ap \in X,$ todos los $a \in \mathbb{C}$.

3. $p \in X \rightarrow p+a \in X,$ todos los $a \in \mathbb{C}$.

4. $p \in X \rightarrow p^n \in X$, natural de todos los $n \geq 0$.

Más conceptualmente, $X$ es el conjunto de todos los $p \in \mathbb{C}[x]$ que puede ser expresado usando en más de una ocurrencia de $x$. Por ejemplo, el polinomio $p = 18 x^6-12 x^3+7$ puede ser escrito como $2(3x^3-1)^2+5,$ por lo tanto $p \in X.$

Pregunta. Puede $X$ ser descrito de forma más explícita? Un poco más precisamente, dado un polinomio $p = a_n x^n + \cdots + a_0 x^0$, hay una condición explícita (o algoritmo) que afectan sólo a la $a_i$'s que nos permite decir si o no $p \in X$?

Answer 1

Lineal de los factores que siempre se puede tirar de fuera, por ejemplo,$a\cdot p^n = (\sqrt[n] a \cdot p)^n$. Por lo tanto es suficiente con considerar el subconjunto $X_0\subset X$ de monic polinomios y tratar de determinar si un determinado monic polinomio $p$ $X_0$ o no. Deje $p$ ser un monic polinomio de grado $>1$. Si $p\in X_0$, $p=q^m+c$ para algunos $q\in X_0$, $c\in\mathbb C$, $m\ge 2$. Podemos tratar de encontrar todos los candidatos para $q$ y de forma recursiva de la prueba si se $\in X_0$.

Para poner a prueba para el caso de $m=2$, no es que en este caso $p'=2q$; por lo tanto, hemos de comprobar si $p-\frac14p'^2$ es constante (por supuesto, este de inmediato se produce un error si $\deg p\ne 2$) y si por lo que hemos encontrado un primer candidato a $q=\frac12p'$.

En general, se nota que $m$ debe ser un divisor de a $\deg p$. Por lo tanto para cada uno de estos un número finito de $m$$r:=\frac {n}m$, hacer un ansatz $q=x^r+b_{r-1}x^{r-1}+\ldots+b_0$ y resolver para el $b_i$ desde la parte superior downwads; obtenemos $b_{r-i}$ a partir de la comparación de los coeficientes de $x^{n-i}$, lo que nos da una ecuación lineal, es decir, una solución única para $b_{r-i}$. Una vez $q$ se encuentra, compruebe si $p-q^m$ es constante y si es así, tenemos otro candidato.