Cómo integrar la $\int_1^e \ln{x} \, dx$

Question

Esto parece realmente difícil para mí. No puedo entender cómo integrar la $\ln x$.

Answer 1

Basado en observación geométrica podemos escribir que

$$\int_1^e \ln x\space \mathrm{dx}=e-\int_0^1 e^x\space \mathrm{dx}=1$$

La pregunta también puede ser visto como un caso particular de los Jóvenes de la desigualdad.

Answer 2

Sugerencia de Integración por partes es útil.

Deje $u=$ln$x$ , $dv=1dx$
así $du=\frac{1}{x} dx$ , $v=x$

así que $uv$ - $\int_{1}^{e}vdu$ = $x$ln$x \mid_{1}^{e}- \int_{1}^{e} dx$

Answer 3

$$ \int\ln x\,dx=\int u\,dx = xu-\int x\,du = x\ln x \int x\left(\frac1x\,dx\right). $$ Ahora aquí está la parte difícil: $x\cdot\dfrac1x$ simplifica a $1$. Al menos, he visto que muchos de los estudiantes quedas atascado en esa parte. Algunos de ellos quieren antidifferentiate $x$ también $\dfrac1x$.

Por lo que tenemos $$ x\ln x\int 1\,dx. $$ Usted probablemente puede hacer el resto.

Answer 4

Cambio de variable de la fórmula $ \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f (x) \, dx = \int_a^b f(\varphi(u))\varphi^\prime (u) du$ \begin{align} \int_{1}^{e}\ln (x)\, dx = & \int_{e^{0}}^{e^{1}}\ln (x) \, dx \\ = & \int_0^1\ln( e^u ) (e^u)^\prime du \\ = & \int_0^1 u \cdot e^u du \\ \end{align} Ahora use integración por partes.