Es T($S^2 \times S^1$) trivial?

Question

¿Cómo puedo averiguar si T($S^2 \times S^1$) es trivial o no?

El uso de la bola peluda teorema puedo demostrar que T($S^2$) no es trivial, y es recta hacia adelante para demostrar que T($S^1$) es trivial.

Pero no tengo idea acerca de T($S^2 \times S^1$).

Sé que T($S^2 \times S^1$)$\cong$ T($S^2)\times$T($S^1$). Traté de decir algo acerca de la restricción de un marco global a $S^2$ y derivar una contradicción, pero no pude llegar a ninguna parte.

Answer 1

Deje $p_1, p_2$ ser la respectiva proyección en $S^1$$S^2$. Canónicamente tenemos $T(S^1 \times S^2) \cong p_1^{-1}T(S^1) \oplus p_2^{-1}T(S^2)$. Como la tangente del paquete del círculo es trivial, el primero es isomorfo el trivial de la línea de paquete en la $S^1 \times S^2$. Deje $\xi$ ser el trivial de la línea de paquete en la $S^2$. A continuación, esta vez es isomorfo a $p_2^{-1}T(S^2) \oplus p_2^{-1}(\xi) \cong p_2^{-1}(T(S^2) \oplus \xi)$. Considere la posibilidad de $S^2$ como incrustado en $\Bbb R^3$ en la forma estándar; entonces es trivial normal paquete (porque no es un nonvanishing sección de la misma), y $T(S^2) \oplus N(S^2) \cong S^2 \times \Bbb R^3$. Así $$p_2^{-1}(T(S^2) \oplus \xi) \cong p_2^{-1}(T(S^2) \oplus N(S^2)) \cong p_2^{-1}(S^2 \times \Bbb R^3) \cong S^2 \times S^1 \times \Bbb R^3.$$ So the tangent bundle of $S^2 \times S^1$ es trivial.