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Dirichlet Serie de $\#\mathrm{groups}(n)$

Lo que se sabe acerca de la Dirichlet de la serie dada por

$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\#\mathrm{groups}(n)}{n^{s}}$$

donde $\#\mathrm{groups}(n)$ es el número de clases de isomorfismo de grupos finitos de orden $n$. Específicamente: ¿convergen? Si es así, ¿dónde? Hacer los residuos en cualquiera de sus polos tienen valores interesantes? Puede ser expresed en términos de la clásica de Riemann zeta función? Esto es incluso un objeto interesante para pensar?

Mathematica tiene una lista de $\#\mathrm{groups}(n)$$1 \le n \le 2047$. El trazado de la suma parcial parece indicar que se hace converger y tiene un polo en $s=1$.

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Matthew Scouten Puntos 2518

De acuerdo a una lesión.matemáticas de la publicación por Avinoam Mann que he encontrado en http://www.math.niu.edu/~rusin/conoce-matemáticas/95/numgrps la mejor cota superior es el número de grupos(n) $\le n^{c(\log n)^2}$ para algunas constantes $c$. Que podría indicar que su Dirichlet de la serie diverge para todos los $s$, después de haber arbitrariamente grandes términos.

Ver también https://oeis.org/A000001 (la primera entrada en la OEIS), que es donde tengo el enlace de arriba.

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Eggs McLaren Puntos 945

Para agregar un poco más de detalle Robert respuesta, Higman y Sims demostrado que $$\#\text{groups}(p^n) = p^{2n^3 / 27+O(n^8/3)}.$$ Since this grows faster than polynomially in $p^n$, the $p^n$ésimo término de la serie crece sin límite, como dice Robert. Para obtener más información, vea este blog y estos MO respuestas. Yo mismo he aprendido de Higman-Sims resultados de un hermoso papel de Poonen s, donde se da una fórmula similar para la dimensión del espacio de rango n álgebras conmutativas.

Los documentos originales son:

  1. Graham Higman, la Enumeración de p-grupos. I. Las Desigualdades, Proc. Londres Matemáticas. Soc. (3) 10 (1960), 24-30. MR 0113948
  2. Charles C. Sims, la Enumeración de p-grupos, Proc. Londres Matemáticas. Soc. (3) 15 (1965), 151-166. MR 0169921

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