Derivado: $e^x$.

Question

¿Cómo se diferencian $e^x$?

He mirado en muchos sitios, incluyendo preguntas similares aquí, pero la mayoría de las respuestas parecían circular.

La única definición conocida de $e$ a ser usado en esta prueba es $$ e=\lim_{n \to\infty} \left(1+\frac{1}n \right)^n $$

Lo que hice es:

$$ \begin{align*} (e^x)' &=\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}h \\ &= e^x\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}h \end{align*} $$

Pero no sé cómo continuar, yo sé que $\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}h=1$ pero no sé cómo demostrarlo, no puedo usar el $e^x$ expansión de taylor como que implicaría diferentiating $e^x$.

Edit: yo también no se puede utilizar la derivada de $\ln(x)$.

Answer 1

Debemos calcular el límite

$$ \lim_{h \to 0} \frac{e^h -1}{h} $$ utilizando la definición que tenemos para $e$ hemos

$$ \lim_{h \to 0}\lim_{n \to \infty}\frac{(1+1/n)^{hn} -1}{h} $$ podemos expandir usando el teorema del binomio:

$$ (1+ 1/n)^{hn} = \sum_{k=0}^{\infty}\binom{hn}{k}(1/n)^k = 1 + h + h^2 \cdots $$ A continuación, la parte difícil (este debe ser justificada con cuidado), el intercambio de los límites para obtener:

$$ \lim_{n \to \infty} \lim_{h\to 0}\frac{1 + h + h^2 \cdots -1}{h} = \lim_{n \to \infty} \lim_{h\to 0}(1 + h\cdots) = \lim_{n \to \infty}1 =1 $$

Answer 2

Bernoulli la desigualdad da que para cualquier $n\geq 2$ tenemos: $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n\tag{1} $$ por lo tanto $n\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)$ entre: $$ 1 < n\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right) < 1+\frac{1}{n-1}\tag{2}$$ por lo tanto, por medio de la compresión: $$ \lim_{n\to +\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}=1 \tag{3}$$ que, junto con la $(2)$, se tiene: $$ \lim_{r \to 0}\frac{e^r-1}{r}=1\tag{4}$$ eso es suficiente para conceder: $$ \lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}=e^x \tag{5} $$ como quería.

Answer 3

Esto es realmente un comentario sobre Jack D'Aurizio la respuesta, pero es demasiado largo para un comentario. Permítanme mostrarles cómo la Desigualdad de Bernoulli se utiliza para probar $(1)$ a partir de Jack D'Aurizio la respuesta.

En esta respuesta, se muestra, usando la Desigualdad de Bernoulli, que $$ \left(1+\frac1n\right)^n\etiqueta{1} $$ es un aumento de la secuencia y que $$ \left(1+\frac1n\right)^{n+1}\etiqueta{2} $$ es una disminución de la secuencia. Esto significa que para todos los $n$ $$ \left(1+\frac1n\right)^n\le\overbrace{\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac1k\right)^k}^{\large e}\le\left(1+\frac1n\right)^{n+1}\etiqueta{3} $$ Desde $(3)$ es cierto para todos los $n$, podemos sustituir el $n\mapsto n-1$ en el lado derecho de la desigualdad para obtener la desigualdad de Jack respuesta: $$ \left(1+\frac1n\right)^n\le e\le\left(1+\frac1{n-1}\right)^n\etiqueta{4} $$

Answer 4

\begin{equation*} e^x=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac {x} {n}\right)^n =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=0}^n\binom n k\frac {x^k} {n^k} =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=0}^n\frac {n(n-1)...(n-k+1)} {k!}\frac {x^k} {n^k}\end{ecuación*} $$ =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=0}^n\frac {n(n-1)...(n-k+1)} {n^k}\frac {x^k} {k!}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=0}^n\frac {n} {n}\frac {n-1}{n}...\frac{n-k+1} {n}\frac {x^k} {k!}$$ $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=0}^n\frac {1} {1}\left(1-\frac {1}{n}\right)...\left(1-\frac{k-1} {n}\right)\frac {x^k} {k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac {x^k} {k!}$$ Por lo tanto, tenemos que $$e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac {x^k} {k!}\implies(e^x)'=\sum_{k=1}^\infty\frac{kx^{k-1}} {k!}=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^{k-1}} {(k-1)!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{k}} {k!}$$ De ello se desprende que $e^x=(e^x)'$

Answer 5

Definir la función de registro como $\log x=\int_1^x \frac{dt}{t}$. La derivada es, obviamente,$1/x$. La función exponencial es la inversa de la función de registro. Así, podemos escribir

$$\begin{align} x&=\log (e^x)\\ &=\int_1^{e^x} \frac{dt}{t} \end{align}$$

Tomando la derivada de ambos lados y la aplicación de la regla de la cadena revela

$$\begin{align} \frac{dx}{dx}&=1\\ &=\frac{d\log(e^x)}{dx}\\ &=\frac{1}{e^x}\frac{de^x}{dx} \end{align}$$

con lo cual la solución para $\frac{de^x}{dx}$ muestra que

$$\frac{de^x}{dx}=e^x$$

Así, la derivada de la función exponencial, es en sí mismo!