Representación de $S^{3}$ como la unión de dos sólidos tori

Question

Bueno, estoy tratando de demostrar que pueden expresar las 3 dimensiones de la esfera de $S^{3}$ como la unión de dos sólidos de tori. Traté de primer uso que de un sólido tori es homeomórficos a $S^{1}$$\times$$D^{2}$ y usar esto para obtener algunos cociente espacio que sería homeomórficos a $S^{3}$, pero no podía ir más allá. Es esta la forma o necesito un poco más para demostrar que? Gracias de antemano.

Answer 1

La forma más sencilla que conozco para hacer esto es pensar de $S^3$ como el límite de $D^4$. Este es el mismo que el límite de $D^2\times D^2$,$S^1\times D^2 \cup D^2\times S^1$.

Por una táctica similar que usted puede cocinar la descomposición de las esferas de otras dimensiones.

Answer 2

No voy a dar a usted en realidad una prueba formal, sino una forma de pensar acerca de esto, que de todos modos me parece bastante satisfactorio. Lo que usted está pidiendo que se conoce como un Heegaard la división de una 3-variedad (en tu caso es $S^3$), es decir, la descomposición de la múltiple en dos copias de la misma "más fácil" 3-colector con límite, de tal manera que el encolado de estos dos copias a lo largo de su frontera le da la original colector. Las piezas fáciles son los llamados handlebodies, que a grandes rasgos son los compactos de 3-variedades delimitada en $\mathbb{R}^3$ por cerrado superficies orientables (si se restringen a la orientable caso). Así, por ejemplo, una 3-bola es un handlebody de género $0$, con un sólido toro es un handlebody de género $1$, y así sucesivamente...Usted dice que una 3-variedad ha Heegaard género $g$ si se admite una división de hecho de handlebodies de género $g$ (o superior), pero no de género $g-1$ (o menor).

En general, usted puede Heegaard a dividir su colector de varias maneras diferentes, y por el contrario si usted comienza a partir de dos handlebodies de un mismo género, entonces usted puede pegarlas en diferentes maneras y obtener diferentes (no homeomórficos) 3-variedades. Esta correspondencia entre colectores y Heegaard escisiones es, pues, un poco sutil y tiene algo que ver con el mapa que usted elija para hacer el encolado y la estructura de la clase de Asignación de grupo (=homeomorphisms modulo isotopía) de la 3-variedad y que de la superficie de la handlebodies, y la forma de interactuar a través de la inclusión del mapa.

No sé si estás familiarizado con estas cosas o no, así que estoy siendo un poco incompleto aquí; por favor, hágamelo saber si esto está claro o si quieres elaborar más.

De todos modos, algunos resultados básicos decirte que:

1. si usted toma dos género $g$ handlebodies y les pegue a través de dos mapas que son isotópicas (como homeomorphism del género $g$ de la superficie que delimita la handlebodies ), entonces se obtiene homeomórficos 3-variedades. Esto puede decirle por qué la clase de asignación de grupo de la superficie se ve involucrada en estos hechos.
2. la esfera de $S^3$ ha Heegaard género $0$, es decir, tiene una división de 3 bolas. Dicho de otro modo usted puede tomar dos de 3 bolas, pegamento y la obtención de $S^3$. Vamos a ver cómo esto se puede hacer. Elija dos de 3 bolas $B_1$ $B_2$ $\mathbb{R}^3$ y un avión que se encuentra entre ellos como en un espejo (quiero decir, de tal manera que usted puede obtener una bola del otro a través de una reflexión en este plano). Ahora definir un encolado de la frontera 2-esferas de simplemente identificar un punto en el primer lugar con su imagen reflejada en el segundo. Para visualizar esto, se puede proceder de la siguiente manera: quitar un punto de cada esfera, por ejemplo, el más alejado del espejo; luego se queda con las dos mitades de los espacios y la identificación que está haciendo le dice a la cola de su límite plano; por lo que el resultado es:$\mathbb{R}^3$. Ahora recuerdan los puntos que previamente se llevó: el elegido de identificación le dice a identificar en un solo punto. Si el pegamento de este único punto a de la $\mathbb{R}^3$ que acaban de obtener, entonces usted consigue $S^3$ como el Alexandrov compactification de $\mathbb{R}^3$. Por otra parte, desde la asignación de la clase de grupo de la 2-esfera es trivial, esta es realmente la única cosa que usted podría obtener: cualquiera que sea el encolado de que usted elija para su 3-pelotas que siempre terminan con una 3-esfera.
3. otro resultado general es esta: si usted ha construido un género $g$ división para su colector, entonces usted puede conseguir un género $g+1$ la separación de sus colector mediante la eliminación de un cilindro sólido $I\times D^2$ a partir de una handlebody y pegado a la otra.

Vamos a ver cómo funciona esto en el género $0$ división se construyó antes de $S^3$. Ahora que conocemos $S^3$ se obtiene a partir de 3 bolas, podemos representarlos de una manera fácil: basta pensar $S^3$$\mathbb{R}^3$, más de un punto en el infinito, la tome de la unidad 3-bola de la primera bola y se complementan en $S^3$ como la otra bola (observe que de acuerdo a 2. esto es de hecho una 3-bola). Ahora tome un cilindro sólido $I\times D^2$ dentro de la unidad de la bola, de tal forma que su límite de 2 discos de mentira en la 2-esfera que delimita el balón; es simplemente una inscrito el cilindro de la base de que han sido empujados hasta el límite de la pelota. Si usted retire el cilindro de la unidad de la bola, entonces el resultado es homeomórficos a un sólido de toro. Pero si usted no esta dentro de $S^3$, este cilindro es necesaria y automáticamente pegado a la dotación de la unidad de pelota, que es otra bola: de modo de obtener una bola con un cilindro sólido pegado a su límite, y esto es de nuevo homemorphic a un toro. Así que usted tiene sólidos tori en $S^3$ que están ligadas de alguna manera, como una de Hopf enlace" (ok, sé que esto no es fácil de visualizar, y está a solo unos handwaving, pero creo que ayuda). Este es un género $1$ división de $S^3$. Observe que estas dos tori se pegan de tal manera que un meridiano de la primera se identifica con un paralelo de la otra, por lo que este no es el mapa de identidad del toro de la frontera. Si usted hizo el encolado con el mapa de identidad, a continuación, usted podría obtener un $S^1 \times S^2$ y, como Neal señaló en un comentario, como variar el encolado de un mapa, obtener toda la lente de espacios (y, como cuestión de hecho, nada más).

Answer 3

EDIT: esto se ha trabajado para mí por el mismo equipo de jerbos que no Forma Normal de Jordan de matrices cuando la necesito. Increíblemente versátil.

Tomar las coordenadas como se denomina $(w,x,y,z)$ a reducir los subíndices. La esfera es $$ w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 1. $$ The common boundary is the Clifford Torus, $$ w^2 + x^2 = y^2 + z^2 = \frac{1}{2}. $$ Una sólida toro es $$ w^2 + x^2 \leq \frac{1}{2}, \; y^2 + z^2 = 1 - w^2 - x^2. $$ The other solid torus is $$ y^2 + z^2 \leq \frac{1}{2}, \; w^2 + x^2 = 1 - y^2 - z^2. $$

O usted podría escribir $$ w^2 + x^2 \leq \frac{1}{2}, \; y^2 + z^2 \geq \frac{1}{2} $$ y $$ w^2 + x^2 \geq \frac{1}{2}, \; y^2 + z^2 \leq \frac{1}{2}. $$

Answer 4

La manera más fácil es pensar de $S^3$ como sigue:

$S^3$ ={$ (z,w)\in \mathbb{C}: |z|^2 +|w|^2=2$}. Tomar $V_1$={$ (z,w)\in S^3: |z|\geq |w|$} y $V_2$={$ (z,w)\in S^3: |z|\leq |w|$}. No es difícil mostrar que $V_1$ $V_2$ son sólidos tori pegado a lo largo de su frontera común, a saber $\delta V_1$=$\delta V_2$={$ (z,w)\in S^3: |z|=|w|$}, que es un toro.

De manera más general,

Hay diferentes maneras de pegar dos sólidos tori para obtener diferentes 3-variedades. Es una forma de cola de un meridiano de la curva en el ist toro límite a la longitud de la curva en el segundo. Si esto ha de ser inyectiva, usted tiene que pegar cada meridiano en el ist a una longitud de la segunda. Esto le da a usted $S^3$. De Hopf fibration ayuda a visualizar este: Ver un corto video de la película. (Sin embargo, usted puede ser que necesite algunas habilidades para aviso de lo que está pasando. Usted puede pedir a mí, por supuesto).

Por otro lado, si usted pegado un meridiano en el ist toro límite a un meridiano en el segundo, lo que se obtiene es una $S^1$-la pena de 2-esferas i.e $S^2$ $\times$ $S^1$.

En los dos casos anteriores, tenemos irreductible de las 3-variedades. Pero en general, para obtener un nuevo 3-variedades, se le tiene que pegar el meridiano de la eis de la no-trivial curva simple en la segunda. Un nombre de fantasía para dicha curva es $(p,q)$-curva, donde $p$ $q$ denotar el número de meridianos y el número de longitudes respectivamente. El colector formado se llama una Lente espacio de $L(p,q)$.

Algo similar a la división de Heegaard discutido antes de que se Dehn de la cirugía en los nudos. Aquí usted puede hacer los 3 procedimientos que he descrito. Se trata de la eliminación regular de un barrio de un nudo en $S^3$ y el pegado de nuevo de una manera diferente.