Explicando un álgebra de paso en $ \frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 = \frac{(n+1)^2}{4}(n^2+4n+4)$

Question

Me he encontrado con este paso en mi libro de texto y yo no lo entiendo, podría alguien por favor lista de los pasos intermedios?

$$ \frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 = \frac{(n+1)^2}{4}(n^2+4n+4). $$

Gracias,

Answer 1

Agregar las fracciones, factor común de los términos en el numerador y luego reorganizar:

$$ \displaystyle\; \; \frac{n^2(n^2 + 1)^2}{4} + (n + 1)^3 $$

$$ = \displaystyle\frac{n^2(n^2 + 1)^2}{4} + \frac{4(n + 1)^3}{4} $$

$$ = \displaystyle\frac{n^2(n^2 + 1)^2 + 4(n+1)^3}{4} $$

$$ = \displaystyle\frac{(n^2 + 1)^2(n^2 \cdot 1 + 4(n + 1))}{4} $$

$$ = \displaystyle\frac{(n^2 + 1)^2(n^2 + 4n + 4)}{4} $$

$$ = \displaystyle\frac{(n^2 + 1)^2}{4}(n^2 + 4n + 4) $$

Answer 2

Una forma de ver que es factor de la $(n+1)^2/4$. Entonces $$ \begin{align*} \frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 &=\frac{(n+1)^2}{4}\bigl(n^2+4(n+1)\bigr) \\ &= \frac{(n+1)^2}{4}(n^2+4n+4) \end{align*} $$ Ya que el factor de una $1/4$, usted tiene que mantener un $4$ en el numerador del segundo término.