Mostrando que $\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}$

Question

EDIT: Lo que yo quería preguntar es cómo demostrar que $ \frac{2x}{2+x}$ da un mejor límite inferior de $\ln(1+x)$ de otras funciones de la misma forma.

Answer 1

Sugerencia: Deje $f(x)=\ln(1+x)-\frac{2x}{2+x}$, y muestran que la $f(0)=0$, $f'(x)>0$ todos los $x>0$.

Answer 2

Como mencioné en un comentario, el poder de la serie, cerca de $x=0$ $$ \begin{align} \log(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4)\\ \frac{2x}{2+x}&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{4}+O(x^4)\\ \log(1+x)-\frac{2x}{2+x}&=\frac{x^3}{12}+O(x^4) \end{align} $$ Tan cerca de $x=0$, el valor, y la primera y la segunda derivados partido. Eso significa que las funciones de $\log(1+x)$ $\frac{2x}{2+x}$ partido para los de segundo orden. No es tan sencillo, $\frac{x(6+x)}{6+4x}$ corresponde a $\log(1+x)$ a la tercera orden. Aproximaciones racionales a las funciones que están llamados Padé Aproximaciones.

Además, $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log(1+x)-\frac{2x}{2+x}\right) &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log(1+x)+\frac{4}{2+x}-2\right)\\ &=\frac1{1+x}-\frac4{(2+x)^2}\\ &=\frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2} \end{align} $$ Así, por $x\gt-1$, $\log(1+x)-\frac{2x}{2+x}$ es una función creciente. En $x=0$, $\log(1+x)-\frac{2x}{2+x}=0$.

Por lo tanto, para $x\gt0$, $$ \log(1+x)\gt\frac{2x}{2+x} $$ y para $-1\lt x\lt0$, $$ \log(1+x)\lt\frac{2x}{2+x} $$

Answer 3

La prueba por contradicción: $$\ln(1+x) \le \frac{2x}{2+x}$$ $$\ln(1+x) \le 2 - \frac{4}{2+x}$$ $$\ln(1+x) - 2 < -\frac{4}{2+\ln(1+x)}$$ $$\ln^2(1+x) < 0$$

Answer 4

Para mostrar que la desigualdad se cumple para $x \geq 0$ nota de que

$$ \log(1+x) = \int_1^{1+x} \frac{1}{t}dt. $$

Aproximar la función de $t \mapsto \frac{1}{t}$ por su tangente en $t = 1 + \frac{x}{2}$ para obtener

$$ \frac{1}{t} \geq -\frac{1}{(1+\frac{x}{2})^2}(t - 1 - \frac{x}{2}) + \frac{1}{1 + \frac{x}{2}} = -\frac{4 t}{(x + 2)^2} + \frac{4}{x+2}$$

para todos los $t \geq 1$. En particular

$$ \log(1+x) \geq \int_1^{1+x} \left(-\frac{4 t}{(x + 2)^2} + \frac{4}{x+2}\right) dt = \frac{2x}{x+2}.$$

Este límite inferior es óptima entre todos los que pueden obtenerse mediante el uso de esta aproximación tangente. En general depende de lo que quieres decir con "óptima". Por ejemplo

$$ \log(1+x) - \frac{2x}{a x + 2} = \frac{a-1}{2} x^2 + O(x^3) $$

lo que implica que $a \geq 1$ para obtener un posible límite inferior. Pero para $a > 1$ este límite inferior es peor que la de $a=1$. En el otro lado

$$ \log(1+x) \geq \frac{8x}{3(x+4)} $$

para todos los $x\geq 0$ y esta es una mejor cota inferior para $x \geq 4$.

Answer 5

En el cero de ambos es cero. Sus derivados son $$\frac 1 {1+x},\qquad \frac 4 {(2+x)^2}=\frac 1 {(1+x/2)^2}$$