La idea está clara, la prueba no.

Question

Estoy leyendo el libro de Enderton sobre teoría de conjuntos. En el capítulo 3, hay una serie de ejercicios sobre funciones. Por ejemplo

• Demostrar que si $F$ y $G$ son funciones, $dom(F) = dom(G)$ y $F(x) = G(x)$ para todos $x$ en el dominio común, entonces $F = G$ .
• Supongamos que $F$ y $G$ son funciones. Demostrar que $F \subseteq G$ sólo si $dom(F) \subseteq dom(G)$ y $F(x) = G(x)$ para todos $x \in dom(F)$ .

Si pienso en las afirmaciones, se me ocurren los siguientes "esbozos":"

• Supongamos que $(x,F(x)) \in F$ . Entonces $x \in dom(F)$ . Desde $dom(F) = dom(G)$ , $x \in dom(G)$ y $(x,G(x)) \in G$ . Desde $G(x) = F(x)$ para todos $x$ en el dominio común, $(x,F(x)) \in G$ . La otra dirección es similar.
• Supongamos que $F$ y $G$ son funciones. Entonces $F \subseteq G$ si $(x,y) \in F$ implica $(x,y) \in G$ . Por lo tanto, $x \in dom(F)$ implica $x \in dom(G)$ y $dom(F) \subseteq dom(G)$ . Del mismo modo, $(x,y) \in F$ implica $(x,y) \in G$ si $F(x) = G(x)$ para todos $x \in dom(F)$ desde $F$ y $G$ son funciones y $y$ está determinada de forma única por $x$ .

Pero no son pruebas formales. En estos ejercicios tengo problemas para formalizar la idea que quiero expresar. Por lo tanto, la pregunta (petición) es para un ejemplo de una formalización, para que pueda ver el estilo apropiado y el nivel de detalle involucrados.

Answer 1

Esencialmente lo tienes. De hecho, la primera está prácticamente hecha (a menos que quieras ir al grano de la definición formal de función como conjunto de pares ordenados). El segundo es un poco más confuso porque tienes "iffs" e "implica", lo que tiende a dificultar la lectura. Lo mejor sería separar las dos implicaciones que intentas establecer. Permíteme que las escriba. Verás que la primera está esencialmente hecha, la segunda sólo necesita un poco de aclaración.

1. Para demostrar que $F=G$ tiene que demostrar que $F\subseteq G$ y $G\subseteq F$ . Así que $(x,y)\in F$ ( $F$ es una función, por lo que todos sus elementos son pares ordenados). En concreto, $x\in\mathrm{dom}(F)=\mathrm{dom}(G)$ por lo que existe $z$ tal que $(x,z)\in G$ . Tenga en cuenta que $(x,y)\in F$ significa $F(x)=y$ y $(x,z)\in G$ significa $G(x)=z$ . Así, $y = F(x) = G(x) = z$ Así que $(x,z)=(x,y)\in G$ . Así, $F\subseteq G$ . La inversa se deduce por simetría (o puedes intentar escribirlo tú mismo).

2. Usted tiene una declaración "si y sólo si", por lo que es posible que desee hacerlo en dos partes. Empieza probando la sentencia "if": if $\mathrm{dom}(F)=\mathrm{dom}(G)$ y $F(x)=G(x)$ para todos $x\in\mathrm{dom}(F)$ entonces $F\subseteq G$ . La prueba debería ser similar a la anterior.

   Una vez que hayas terminado con el "si", demuestra el "sólo si": Si $F\subseteq G$ entonces $\mathrm{dom}(F)\subseteq \mathrm{dom}(G)$ y $F(x)=G(x)$ para todos $x\in\mathrm{dom}(F)$ .

   ¿Cómo lo demuestra? Bien, $\mathrm{dom}(F) = \{x\mid \text{there exists }y\text{ such that }(x,y)\in F\}$ de forma similar para $\mathrm{dom}(G)$ . Así que $x\in\mathrm{dom}(F)$ . Entonces existe $y$ tal que $(x,y)\in F$ . Desde $F\subseteq G$ entonces $(x,y)\in F$ implica $(x,y)\in G$ . Pero $(x,y)\in G$ implica $x\in\mathrm{dom}(G)$ que es lo que necesitábamos probar. Así que $\mathrm{dom}(F)\subseteq \mathrm{dom}(G)$ . Entonces se quiere demostrar que para cada $x\in\mathrm{dom}(F)$ , $F(x)=G(x)$ . Así que toma $x\in\mathrm{dom}(F)$ Esto significa que existe $y$ con $(x,y)\in F$ y puesto que $\mathrm{dom}(F)\subseteq \mathrm{dom}(G)$ , tienes $x\in\mathrm{dom}(G)$ por lo que existe $z$ tal que $(x,z)\in G$ . Desde $F\subseteq G$ entonces $(x,y),(x,z)\in G$ . Desde $G$ es una función, $y=z$ . Así que $(x,y)\in G$ Por lo tanto $y = G(x) = F(x)$ .