Integral $\int_0^\infty\operatorname{arccot}(x)\,\operatorname{arccot}(2x)\,\operatorname{arccot}(5 x)\,dx$

Question

Tengo que evaluar esta integral definida: $$Z=\int_0^\infty\operatorname{arccot}(x)\,\operatorname{arccot}(2x)\,\operatorname{arccot}(5x)\,dx$$ Mi CAS sólo fue capaz de encontrar su valor numérico aproximado: $A$Z\approx0.796300956669079523165601562454031588576893734085453548868394...$$ Hay un enfoque que permita evaluar en forma cerrada?

Miré hacia arriba esta integral en Gradshteyn-Ryzhyk, pero el más cercano que encontré fue la fórmula 4.511: $$\int_0^\infty\operatorname{arccot}(px)\,\operatorname{arccot}(qx)\,dx=\frac\pi2\left[\frac1p\,\ln\left(1+\frac p q\ \ derecho)+\frac1q\,\ln\left(1+\frac q p\right)\right]$$ Es allí una manera de generalizar a un producto de 3 arccotangents? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

El uso de una fórmula de mi otra respuesta, podemos obtener: $$Z=\frac1{960}\Big[96\operatorname{Li}_3\left(\tfrac13\right)+744\operatorname{Li}_3\left(\tfrac23\right)-780\operatorname{Li}_3\left(\tfrac15\right)-1152\operatorname{Li}_3\left(\tfrac25\right)\\ +408\operatorname{Li}_3\left(\tfrac35\right)-60\operatorname{Li}_3\left(\tfrac45\right)-720\operatorname{Li}_3\left(\tfrac16\right)-840\operatorname{Li}_3\left(\tfrac56\right)\\ -48\operatorname{Li}_3\left(\tfrac17\right)-1032\operatorname{Li}_3\left(\tfrac27\right)-192\operatorname{Li}_3\left(\tfrac37\right)-192\operatorname{Li}_3\left(\tfrac47\right)\\ -1200\operatorname{Li}_3\left(\tfrac57\right)+120\operatorname{Li}_3\left(\tfrac67\right)-112\operatorname{Li}_3\left(\tfrac18\right)-168\operatorname{Li}_3\left(\tfrac78\right)\\ -192\operatorname{Li}_3\left(\tfrac3{10}\right)+168\operatorname{Li}_3\left(\tfrac7{10}\right)+120\operatorname{Li}_3\left(\tfrac5{12}\right)\\ -120\ln5\cdot\left[4\operatorname{Li}_2\left(\tfrac13\right)+2\operatorname{Li}_2\left(\tfrac25\right)-\operatorname{Li}_2\left(\tfrac17\right)+4\operatorname{Li}_2\left(\tfrac27\right) -3\operatorname{Li}_2\left(\tfrac37\right)\right]\\ +24\ln2\cdot\left[12\operatorname{Li}_2\left(\tfrac13\right)+20\operatorname{Li}_2\left(\tfrac25\right)-12\operatorname{Li}_2\left(\tfrac17\right)+20\operatorname{Li}_2\left(\tfrac27\right)-8\operatorname{Li}_2\left(\tfrac37\right)\right]\\ \\ +1364\ln^32+100\ln^33+148\ln^35+424\ln^37\\ -228\ln3\cdot\ln^22-168\ln5\cdot\ln^22+1176\ln^23\cdot\ln2-624\ln^25\cdot\ln2-648\ln^27\cdot\ln2\\+108\ln3\cdot\ln^25-36\ln3\cdot\ln^27-600\ln^23\cdot\ln5+564\ln^25\cdot\ln7-600\ln^27\cdot\ln5\\+504\ln3\cdot\ln7\cdot\ln2+48\ln5\cdot\ln7\cdot\ln2-288\ln3\cdot\ln5\cdot\ln7\\ -2\pi^2\cdot(3\ln2-76\ln3+37\ln5+36\ln7)+3151\,\zeta(3)\Big]$$

Aquí es equivalente Mathematica expresión.