Subgrupo de elementos de orden en la mayoría de las $2^{m}$

Question

El problema A5 en Putnam 2009, se lee como sigue:

Hay un número finito de grupo abelian $G$ tal que el producto de la los pedidos de todos sus elementos es $2^{2009}$?

La respuesta es No. Estoy leyendo la solución oficial aquí. La solución comienza por la observación de que si el grupo existiera, sería un 2-grupo. Por la estructura teorema de finitely generado abelian grupos, podemos escribir

$$G\cong\prod_{i=1}^{\infty} (\mathbb{Z}/2^{i}\mathbb{Z})^{e_i}$$

para algunos de los números enteros no negativos $e_1, e_2, ...$ todos pero un número finito de que se $0$. Estoy teniendo problemas para entender el paso que sigue inmediatamente:

Para cualquier entero no negativo $m$, los elementos de $G$ de pedido en la mayoría de los $2^m$ forman un subgrupo isomorfo a $$\prod_{i=1}^{\infty} (\mathbb{Z}/2^{\min(i, m)}\mathbb{Z})$$

Puedo ver que los elementos de orden que en la mayoría de las $2^{m}$ forma un subgrupo. Pero no veo por qué este subgrupo debe ser isomorfo al grupo $\prod_{i=1}^{\infty} (\mathbb{Z}/2^{\min(i, m)}\mathbb{Z})$. Alguien puede arrojar luz sobre este asunto? Tal vez incluso mostrar una explícita isomorfismo si es posible?

Agradezco cualquier aporte.

Answer 1

Basta con mirar a cada factor individualmente.

El subgrupo de $\Bbb{Z}/2^i\Bbb{Z}$ si los elementos de orden que en la mayoría de las $2^m$ es isomorfo a $\Bbb{Z}/2^{\min(i, m)}\Bbb{Z}$, debido a que, como un subgrupo de un grupo cíclico, este debe ser cíclico, y si $ i < m$ todos los $2^i$ elementos han pedido en la mayoría de los $2^m$, de lo contrario sólo $2^m$ de ellos lo hacen porque $\Bbb{Z}/2^i\Bbb{Z}$ es cíclica, por lo que el subgrupo generado por un solo elemento $g$, y, debido a $g$ orden $2^m$, el subgrupo generado por a $g$ han $2^m$ elementos (si $g$ tenía menos que $2^m$, entonces todos los elementos del subgrupo también han pedido menos de $2^m$, pero claramente, si $i\ge m$, $\Bbb{Z}/2^i\Bbb{Z}$ tiene un elemento de orden exactamente $2^m$).

Puesto que el orden de un elemento de un producto de grupos es el MCM de las órdenes de proyecciones sobre los factores, un elemento de orden en la mayoría de las $2^m$ $G$ está dado por la simple elección de un elemento de orden en la mayoría de las $2^m$ de cada factor, que es exactamente el deseado isomorfismo.