Demostración de un teorema de Liouville

Question

Necesito alguna referencia para la demostración del siguiente teorema atribuido a Liouville:

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Teorema. Dejemos que $f(x):\Omega\longrightarrow \mathbb R^n$ ser un $C^2$ función en la que $\Omega$ es un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$ y asumir que

$$ \textrm{div}\, f=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_i}=0. $$

Si $\varphi$ es el flujo de la ecuación diferencial $y'=f(y)$ y consideramos el homeomorfismo $\pi_t:\Omega\longrightarrow\Omega$ , de tal manera que $$ x\,\longmapsto\, \pi_t(x):=\varphi(x,t), $$ entonces el mapa $\pi_t$ preserva la medida de Lebesgue de todo subconjunto medible de $\Omega$ . Para ser más precisos, para cada $\mu$ -subconjunto medible $D\subseteq \Omega$ tenemos que $\mu(D)=\mu\big(\pi_t(D)\big)$ .

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El teorema anterior es muy famoso y su forma más simple aplicada a los sistemas hamiltonianos se cita a menudo en los textos de mecánica. Sin embargo, necesito una prueba del enunciado general.

Gracias de antemano

Answer 1

Idea de la prueba.

Dejemos que $D_t=\pi_t(D)$ . Basta con demostrar que $$ \frac{d}{dt}m(D_t)=\int_{D_t}\nabla\cdot f\,dx. $$ El Teorema del Cambio de Variables dice que $$ m(D_t)=\int_{D_t} 1\,dx=\int_{D}\det\left(\frac{\partial\pi_t}{\partial x}\right)\,dx. $$ Pero $$ \frac{\partial\pi_t}{\partial x}=I+\frac{\partial f}{\partial x}t+{\mathcal O}(t^2). $$ Esto se debe a que la solución de $$ x'=f(x),\quad x(0)=x_0, $$ después de poco tiempo $t$ parece $x(t)=x_0+tf(x_0)+{\mathcal O}(t^2)$ .

Utilizando las propiedades estándar del determinante se puede demostrar que $$ \det (I+tA)=1+t\,\mathrm{Tr}\,A+{\mathcal O}(t^2). $$ y por lo tanto $$ \frac{d}{dt}\det\left(\frac{\partial\pi_t}{\partial x}\right)=\mathrm{Tr}\,\frac{\partial f}{\partial x}=\nabla\cdot f. $$

Nota. Para una prueba completa, véase Arnold, Métodos matemáticos en mecánica clásica .

Answer 2

Estoy un poco confundido con la afirmación que has dado, ya que la ODE $y'=f(y,t)$ no genera el flujo (es decir, un grupo de transformaciones de un parámetro en el espacio de estados). Necesitamos un sistema autónomo para generar un flujo: $y'=f(y)$ . En este caso se puede demostrar que $$ \frac{dV_t}{dt}=\int_{D_t}\nabla\cdot f\,dx, $$ donde $D_t$ es el conjunto donde el conjunto de condiciones iniciales $D_0$ fue mapeado por el flujo, $D_t=\phi(t,D_0)$ y $V_t$ es la medida de este conjunto. Una prueba se da, por ejemplo, en la obra de Verhult Ecuaciones diferenciales no lineales y sistemas dinámicos (Lemma 2.4 en la primera edición). El teorema de Liouville es un simple corolario de este hecho.