Dos ideales iguales en dignidad, en el bello París en el que ponemos nuestra escena. (demostrando que los ideales son isomorfos)

Question

Dejemos que $A$ sea un dominio integral. Tengo que demostrar que dos ideales $\mathfrak a$ y $\mathfrak b$ son isomorfos como $A$ -si y sólo si existe $a$ y $b$ tal que $a\mathfrak b=b\mathfrak a$ .

Deduzco que para " $\Leftarrow$ "el isomorfismo es $x\rightarrow a^{-1}bx$ o algo así, pero no puedo probar que $a$ y $b$ tienen inversos.

Mi pregunta es: ¿por qué $a$ y $b$ ¿Invertible?

Answer 1

Esta pregunta ha sido respondida en los comentarios:

No es necesario. Deja que $K$ el campo de las fracciones de $A$ . - Daniel Fischer 25 de enero a las 22:55

y

$a$ tiene una inversa en $K$ El campo de las fracciones. No importa si $a^{1}A$ sólo importa si es un homomorfismo. En tu pregunta, te falta un "no cero" antes de " $a$ y $b$ ", ya que $0\mathfrak{a}=0\mathfrak{b}$ para todos los ideales. - Jack Schmidt 25 ene a las 23:35

Answer 2

La afirmación correcta es: Que $I,J \subseteq A$ sean dos ideales de un dominio integral $A$ . Entonces $I,J$ son isomorfas $A$ -si y sólo si hay $a,b \in A \setminus \{0\}$ tal que $aI = bJ$ .

$\Leftarrow$ : Dejemos que $aI=bJ$ . Para cada $i \in I$ hay un único $j \in J$ tal que $ai=bj$ . Ahora es fácil comprobar que $i \mapsto j$ induce un isomorfismo de $A$ -módulos. Como alternativa, puede consultar el $A$ -isomorfismo de módulo $Q(A) \to Q(A), ~ x \mapsto b^{-1} a x$ y observa que mapea $I$ en $J$ .

$\Rightarrow$ : Dejemos que $I \cong J$ sea un isomorfismo de $A$ -módulos. Se extiende a un isomorfismo de $Q(A)$ -módulos $I \otimes_A Q(A) \cong J \otimes_A Q(A)$ . Observe que $I \otimes_A Q(A)$ se incrusta en $A \otimes_A Q(A) = Q(A)$ para que su dimensión sobre $Q(A)$ es como máximo $1$ . Se deduce que el isomorfismo de $Q(A)$ -está dada por la multiplicación con un elemento de $Q(A)^*$ cuando incrustamos ambos en $Q(A)$ , digamos que $\frac{a}{b}$ . Ahora se deduce que $aI=bJ$ .