Convergencia uniforme de una Exponencial de la Secuencia de Funciones

Question

¿Cómo puedo demostrar que para cada $\epsilon>0$, existe un $N\in\mathbb{N}$ tal que $$\left|f_n(x)-f(x)\right|=\left|\left(\frac{x}{n}+1\right)^n-e^x\right|<\epsilon$$ siempre que $n\geq N$$x\in\left[-A,A\right]$? Por el camino, $n\in\mathbb{N}$.

En un ejercicio anterior, que fue capaz de mostrar que $f_n$ hecho convergen pointwise a $f$. Sin embargo, se me ha pegado durante horas tratando de demostrar la convergencia uniforme. Alguien podría prestarme una mano? Gracias de antemano.

Answer 1

Escribir $$(\frac{x}{n}+1)^n=\exp\left( n \log(1 + \frac{x}{n})\right).$$ Suponiendo que $N>2A$ y por lo tanto $|x/n|<\frac12$, $\log (1+\frac{x}{n})$ se puede expandir en una serie de Taylor con resto, dando $$\log(1 + \frac{x}{n})=\frac{x}{n}-\frac{1}{(1+(y/n))^2} \frac{x^2}{2n^2},\qquad |y|\le |x|$$ $$=\frac{x}{n}-\theta \frac{x^2}{2n^2},\qquad \theta\in [0,4].$$ Sustituyendo en la primera ecuación da$$(\frac{x}{n}+1)^n = \exp\left(x-\theta \frac{x^2}{2n}\right)$$ así $$\left|(\frac{x}{n}+1)^n-e^x\right|=e^x (1-\exp -\theta \frac{x^2}{2n}).$$ El lado derecho de esta no es mayor que $e^A (1-e^{-4A^2/2n})$, así que la convergencia uniforme de la siguiente manera.

Answer 2

Puede saber que

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots$$

y que

$$\left(1+\frac{x}{n} \right)^n=1+x+\frac{n(n-1)}{n^2}\frac{x^2}{2!}+\frac{n(n-1)(n-2)}{n^3}\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

Así que usted consigue

$$\left|\left(1+\frac{x}{n} \right)^n-e^x \right|\leqslant \left| \frac{n(n-1)}{n^2}-1 \right|\frac{x^2}{2!}+ \left| \frac{n(n-1)(n-2)}{n^3}-1 \right|\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

Todas las expresiones en $n$ será racional y de la forma $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$, donde el grado de $P$ será uno menos $Q$. Por ejemplo, los dos primeros son:

$$ \left| \frac{1}{n} \right|$$

$$ \left| \frac{3n^2-2n}{n^3} \right|$$

Todos ellos se comportan como $\dfrac{C}{n}$ para algunas constantes $C$ grandes $n$. Es shouln no ser demasiado difícil para usted para mostrar que esta diferencia puede ser hecho arbitrarely pequeño para suficientemente grande $n$.