La prueba de Cantor y el lema de Zorn

Question

En la prueba de Cantor de que los números reales son incontables, utiliza el hecho de que siempre podemos construir un elemento que no pertenezca a la lista de números dada.

Observa que las listas crean conjuntos parcialmente ordenados con la inclusión como comparador. Toda cadena tiene un límite superior que es la unión de todas las listas de esa cadena. Así que según el lema de Zorn debería existir un elemento maximal(lista), que es la lista que buscamos.

Es evidente que hay un problema en mi razonamiento, pero no entiendo dónde está. ¿Puede alguien mostrarme el escollo de mi razonamiento?

Answer 1

Su pedido parcial $\mathbb{P}$ es (algo así como) subconjuntos contables de $\mathbb{R}$ ordenados por inclusión. Tienes razón en eso, si $\mathbb{P}$ tiene un elemento máximo, entonces $\mathbb{R}$ es contable.

Lo mismo ocurre con $\mathbb{P}$ ¿tiene un elemento máximo? Bueno, por el Lemma de Zorn sería ... si cada cadena en $\mathbb{P}$ tenía un límite superior. Aquí se escribe

Cualquier cadena tiene un límite superior que es la unión de todas las listas de esa cadena.

Pero esto no es cierto ¡! La unión de una cadena en $\mathbb{P}$ es un conjunto de reales, pero no necesariamente un contable conjunto de reales - y $\mathbb{P}$ sólo contiene contable conjuntos de reales. Así, la unión de una cadena en $\mathbb{P}$ no necesita ser un elemento de $\mathbb{P}$ .

La unión de un contable cadena en $\mathbb{P}$ será efectivamente un elemento de $\mathbb{P}$ - pero no todas las cadenas de $\mathbb{P}$ es contable, y el Lemma de Zorn necesita cada cadena para tener un límite superior en el poset.

Answer 2

Aquí hay dos problemas.

1. Piensa en subconjuntos contables, porque el argumento de la diagonal sólo funciona en conjuntos contables. Pero un conjunto contable es no una lista, que es la enumeración también. Aumentar la lista significa trabajar con ordinales contables, en lugar de con funciones de $\Bbb N$ de lo contrario no se puede ampliar nada porque una lista es una función con dominio $\Bbb N$ ... ¿cómo lo vas a ampliar?

   Una vez que sólo se trabaja con conjuntos contables, entonces su argumento falla por la misma razón que $\Bbb R$ no es finito. Mira el conjunto de conjuntos finitos de reales, allí toda cadena finita tiene un límite superior, pero el cada cadena. Ciertamente, hay cadenas infinitas sin límites superiores.

   Se podría preguntar qué pasaría si exigimos que cada cadena es contable y tiene un límite superior. Bueno, esto es ciertamente consistente sin el axioma de elección. Pero esto sólo puede ocurrir en modelos en los que el axioma de elección falla, y por tanto el lema de Zorn ya no es aplicable.

2. Incluso si de alguna manera se pudiera extender el argumento de la diagonalización más allá de $\Bbb N$ y trabajar con los ordinales y no con los números naturales (esto es posible bajo cosas como el Axioma de Martin, que puede ser considerado como una forma de diagonalización extendida), usted todavía tener una cadena sin límite superior: ordenar bien los reales en el menor tipo de orden posible, y observar los segmentos iniciales de este orden. Estos definen una cadena de "lista pequeña" sin límite superior.