¿Por qué podemos resolver indeterminado formas?

Question

Estoy cuestionando myselfas por qué indeterminado formas surgir, y por qué límites que aparentemente nos dan indeterminado formas puede ser resuelto con algunos aritmética de trucos. Por qué $$\begin{equation*} \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x+1}{x-1}=\frac{+\infty}{+\infty} \end{ecuación*} $$

y si tengo que hacer una sencilla operación,

$$\begin{equation*} \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{1}{x})}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})}{(1-\frac{1}{x})}=1 \end{ecuación*} $$

Entiendo la lógica del proceso, pero no puedo entender por qué se obtienen resultados diferentes por el "no" a cambio de nada.

Answer 1

Así que usted está buscando algo de la forma $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty}\frac{g(x)}{h(x)} $$ y si este límite existe, dicen que el límite es $L$, entonces no importa cómo podemos reescribir $f(x)$. Sin embargo, es posible que usted puede escribir $f(x)$ en diferentes formas; por ejemplo, como el cociente de funciones diferentes: $$f(x) = \frac{g_1(x)}{h_1(x)} = \frac{g_2(x)}{h_2(x)}$$ El límite de $f$ existe o no, pero es posible que los límites individuales en el numerador y el denominador existe, o no. Más específicamente, es posible que $$\lim_{x \to +\infty} g_1(x) \quad\mbox{and}\quad \lim_{x \to +\infty} h_1(x)$$ do not exist, while $$\lim_{x \to +\infty} g_2(x) \quad\mbox{and}\quad \lim_{x \to +\infty} h_2(x)$$do exist. What you did by dividing numerator and denominator by $x$, is writing $f(x)$ como otro cociente de funciones, pero de tal manera que los límites individuales en el numerador y el denominador ahora hacer de existir, lo cual permite el uso de la regla en azul ("límite de un cociente es el cociente de los límites; si estos dos existen límites"): $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty}\frac{g_1(x)}{h_1(x)} = \color{blue}{ \lim_{x \to +\infty}\frac{g_2(x)}{h_2(x)} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g_2(x)}{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} h_2(x)}} = \cdots$$and in this way, also find $\lim_{x \+\infty} f(x)$.

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Cuando intenta aplicar esa regla pero los límites no existen, "volver" y de intentar algo más, como la reescritura/simplificación $f(x)$; esto es precisamente lo que sucede: $$\begin{align} \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x+1}{x-1} \color{red}{\ne} \frac{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} (x+1)}{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} (x-1)}= \frac{+\infty}{+\infty} = \; ? \\[7pt] & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1+\tfrac{1}{x}}{1-\tfrac{1}{x}} \color{green}{=} \frac{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} (1+\tfrac{1}{x})}{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} (1-\tfrac{1}{x})} = \frac{1+0}{1+0} = 1 \\ \end{align}$$

Answer 2

En realidad, esto tiene que ver con la definición de continuidad. La función de $Q(x,y) = x/y$ es continua salvo en $y = 0$. Así pues, cuando la $f(t) \to L_f$$g(t) \to L_g \neq 0$, tenemos $$ \lim_{t \a} \frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t \a} P(f(t),g(t)) = \lim_{(x,y) \a (L_f,L_g)}P(x,y) = Q(L_f,L_g) $$ Sin embargo, $Q$ es no continua en $(0,0)$. En particular, $\lim_{(x,y) \to (0,0)}Q(x,y)$ no existe. Por lo tanto, el estado que $Q(0,0) = 0/0$ es una forma indeterminada.

Del mismo modo, $Q$ es "discontinua en $\infty$", ya que $\lim_{(x,y) \to (\infty, \infty)}Q(x,y)$ no existe. Por eso, $\infty/\infty$ es una forma indeterminada.

Answer 3

Un inderterminate forma sólo significa que tenemos que tomar una mirada más cercana a entender lo que sucede. Continuando con el ejemplo, tenemos $$ "\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x+1}{2x-1}=\frac{+\infty}{+\infty}" $ $ , a continuación, ver las cosas con más detalles: $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x+1}{2x-1}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(2-\frac{1}{x})}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})}{(2-\frac{1}{x})}=\frac12. $ De$ la forma indeterminada es la misma, el resultado es diferente. Una forma indeterminada, significa que el resultado es no automáticas, muchos de los resultados son posibles.